Xem trước nội dung
Phần 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Câu 1: [2H3-1.1-3]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm ( ) 5;3; 1 A − , ( ) 2;3; 4 B − và
( ) 1;2;0 C . Tọa độ điểm D đối xứng với C qua đường thẳng AB là
A. ( ) 6;4; 5 − . B. ( ) 4;6; 5 − . C. ( ) 6; 5;4 − . D. ( ) 5;6;4 − .
Hướng dẫn giải Chọn A.
Phương trình đường thẳng AB : ( )
5 3 3 1 3
x t y t z t
= + = ∈ = −+
.
Gọi ( ) 1 5 3 ;3; 1 3 C t t + −+ là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng AB .
Ta có: ( ) 1 4 3 ;1; 1 3 CC t t = + −+
.
Khi đó: 1 CC BA ⊥
1. 0 CC BA ⇔ =
( ) ( ) 3 4 3 3 1 3 0 t t ⇔ + + −+ = 1 2 t ⇔= − . Hay 1 7 5 ;3; 2 2 C −
.
Điểm D đối xứng với C qua đường thẳng AB 1 C ⇒ là trung điểm CD ( ) 6;4; 5 D ⇒ − .
Câu 2: [2H3-1.1-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình hộp . Biết tọa độ các đỉnh , , , . Tìm tọa độ điểm của hình hộp.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi ( ) 1 1 1 ; ; A x y z ′ , ( ) 2 2 2 ; ; C x y z ′ .
Tâm của hình bình hành A B C D ′ ′ ′ ′ là 1 5 ;3; 2 2 I
.
Do I là trung điểm của A C ′ ′ nên
1 2
1 2
1 2
1
6
5
x x
y y
z z
+ = + = + =
.
Ta có ( ) 7;0; 1 AC = −
và ( ) 2 1 2 1 2 1 ; ; A C x x y y z z ′ ′ = − − −
.
Oxyz . ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ ( ) 3;2;1 A − ( ) 4;2;0 C ( ) 2;1;1 B′ − ( ) 3;5;4 D′ A′
( ) 3;3;1 A′ − ( ) 3; 3;3 A′ −− ( ) 3; 3; 3 A′ −−− ( ) 3;3;3 A′ −
D/
C/ B/
A/
D
C B
A
Do ACC A′ ′ la hình bình hành nên
2 1
2 1
2 1
7
0
1
x x
y y
z z
− = − = − = −
.
Xét các hệ phương trình:
1 2 1
2 1 2
1 3
7 4
x x x
x x x
+ = = − ⇔ − = =
.
1 2 1
2 1 2
6 3
0 3
y y y
y y y
+ = = ⇔ − = =
.
1 2 1
2 1 2
5 3
1 2
z z z
z z z
+ = = ⇔ − = − =
.
Vậy ( ) 3;3;3 A′ − .
Cách khác
Gọi I là trung điểm của AC 1 1 ;2; 2 2 I ⇒
.
Gọi I′ là trung điểm của B D ′ ′ 1 5 ;3; 2 2 I ′ ⇒
.
Ta có ( ) 3;3;3 AA II A ′ ′ ′ = ⇒ −
.
Câu 3: [2H3-1.1-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D có điểm A trùng với gốc tọa độ, ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; B a D a A b với 0, 0 a b . Gọi M là trung điểm của cạnh
CC . Giả sử 4 a b , giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A BDM bằng:
A. 64 . 27 B. 128. 27 C. 128. 9 D. 27. 4
Hướng dẫn giải Chọn A.
Từ giả thiết, suy ra
; ;0
' ;0; ; ; 2 ' 0; ;
' ; ;
C a a
B a b b M a a D a b
C a a b
.
Ta có
2 2 ' ;0; 3 ' 0; ; ' , ' ; ; ' , ' . ' 2
; ; 2
A B a b a b A D a b A B A D ab ab a A B A D A M
b AM a a
.
Thể tích khối tứ diện
2
' 1 ' , ' . ' 6 4 A MBD a b V A B A D A M
.
Do , 0 a b nên áp dụng BĐT Côsi, ta được
2 2 3 1 1 1 64 4 3 2 2 4 27 a b a a b a b a b .
Suy ra ' 64 max . 27 A MBD V
Câu 4: [2H3-1.2-3]Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm ( ) 3;0; 2 A − và mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 2 3 25 S x y z − + + + + = . Một đường thẳng d đi qua A , cắt mặt cầu tại hai điểm
M , N . Độ dài ngắn nhất của MN là
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
.jpg "Bài Tập Toán Thực Tế Theo Chuyên Đề Toán 12 Phiên Bản 2026 (Dùng Chung 3 Bộ Sách)")
