Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian Huỳnh Đức Khánh

BẢN MỚI NHẤT tháng 11/2019 Mua word liên hệ 0975120189 thầy KHÁNH 1

CHUÛ ÑEÀ

7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I - TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ

1. Tọa độ của một điểm Trong không gian , Oxyz cho một điểm M

tùy ý. Vì ba vectơ ,i 

,j 

k



không đồng

phẳng nên có một bộ ba số   ; ; x y z duy nhất

sao cho:

. OM xi y j zk       

Ngược lại với bộ ba số   ; ; x y z ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa

mãn hệ thức . OM xi y j zk       

Ta gọi bộ ba số   ; ; x y z đó là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz đã cho và viết

  ; ; M x y z  hoặc   ; ; . M x y z

2. Tọa độ của vectơ

Trong không gian , Oxyz cho vectơ .a Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số   1 2 3 ; ; a a a

sao cho: 1 2 3 . a a i a j a k       

Ta gọi bộ ba số   1 2 3 ; ; a a a đó là tọa độ của vectơ a đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và

viết   1 2 3 ; ; a a a a   hoặc   1 2 3 ; ; . a a a a 

II - BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Định lí

Trong không gian , Oxyz cho hai vectơ   1 2 3 ; ; a a a a   và   1 2 3 ; ; . b b b b  

Ta có:

a)   1 1 2 2 3 3 ; ; . a b a b a b a b       

b)   1 1 2 2 3 3 ; ; . a b a b a b a b      

c)     1 2 3 1 2 3 ; ; ; ; ka k a a a ka ka ka    với k là một số thực.

HEÄ TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN

2

Hệ quả a) Cho hai vectơ   1 2 3 ; ; a a a a   và   1 2 3 ; ; . b b b b  

Ta có

1 1 2 2 3 3 ; ; . a b a b a b a b       

b) Vectơ 0



có tọa độ là   0;0;0 .

c) Vectơ 0 b 

 

thì hai vectơ a và b



cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho 1 1 2 2 3 3 ; ; . a kb a kb a kb   

d) Trong không gian , Oxyz nếu cho hai điểm   ; ; , A A A A x y z   ; ; B B B B x y z thì

  ; ; . B A B A B A AB OB OA x x y y z z         

III - TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định lí Trong không gian , Oxyz tích vô hướng của hai vectơ   1 2 3 ; ; a a a a  

và   1 2 3 ; ; b b b b  

được xác định bởi công thức

1 1 2 2 3 3 . . a b a b a b a b     

2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vectơ. Cho vectơ   1 2 3 ; ; . a a a a   Ta biết rằng

2 2 a a    hay 2 . a a   

Do đó 2 2 2 1 2 3 . a a a a    

b) Khoảng cách giữa hai điểm. Trong không gian , Oxyz cho hai điểm   ; ; A A A A x y z và

  ; ; . B B B B x y z Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vectơ

. AB 

Do đó ta có:

      2 2 2 . B A B A B A AB AB x x y y z z        

c) Góc giữa hai vectơ. Nếu  là góc giữa hai vectơ   1 2 3 ; ; a a a a   và   1 2 3 ; ; b b b b  

với

a và b



khác 0



thì . cos . .

a b

a b 



  Do đó

 

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos cos , . .

a b a b a b a b

a a a b b b     

   

 

Từ đó suy ra 1 1 2 2 3 3 0. a b a b a b a b       

IV - TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. Định nghĩa

Trong không gian , Oxyz cho hai vectơ   1 2 3 ; ; , a a a a     1 2 3 ; ; . b b b b  

Tích có hướng của hai vectơ a và b



là một vectơ, kí hiệu là , a b      

  và

được xác định như sau:

  2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2

, ; ; ; ; .

a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b

                     

 