Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian

2

BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1) Tọa độ của điểm và của vecto a) Hệ tọa độ: Hệ gồm 3 trục 'x Ox, 'y Oy và 'Oz z trong không gian vuông góc với nhau từng đôi một tại O được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz (gọi tắt là hệ tọa độ Oxyz). Khi đó O được gọi là gốc tọa độ. * Lƣu ý: Vecto đơn vị của của các trục 'x Ox, 'y Oy và

'Oz z

lần lượt là ,i j



và k



.

b) Tọa độ của 1 điểm và 1 vecto:

+ Tọa độ của 1 điểm: Với một điểm M tùy ý trong không gian Oxyz, ta luôn có:

OM xi y j zk       

Khi đó bộ ba (x;y;z)là duy nhất và là tọa độ điểm M:

M (x;y;z)  hoặc M(x;y;z)

(x là hoành độ; y là tung độ và z là cao độ) + Tọa độ của 1 vecto:

Tương tự, với một a



bất kì trong không gian Oxyz,

ta luôn có:

1 2 3 a a i a j a k       

Khi đó bộ ba 1 2 3 (a ;a ;a )là duy nhất và là tọa độ a



:

1 2 3 ( ; ; ) a a a a  

hoặc 1 2 3 ( ; ; ) a a a a



* Lƣu ý: Tọa độ điểm M chính là tọa độ của vecto OM 

2) Các phép toán và tính chất trong hệ tọa độ Oxyz

Cho điểm A( ; ; ) A A A x y z , B( ; ; ) B B B x y z và 1 2 3 ( ; ; ) a a a a  

, 1 2 3 ( ; ; ) b b b b  

, khi đó ta có:

Tọa độ vecto AB



( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z     

Độ dài đoạn AB 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z      

Độ dài vecto a



2 2 2 1 2 3 a a a a    

Tổng hoặc hiệu của 2 vecto 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) a b a b a b a b       

Tích của 1 vecto với 1 số 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ) ( ; ; ) ka k a a a ka ka ka   

3

Hai vecto bằng nhau

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

         

 

Tích vô hƣớng của 2 vecto 1 1 2 2 3 3 . . . . ab a b a b a b    

Hai vecto cùng phƣơng (

a b

   )

3 1 2

1 2 3

a a a b b b  

Hai vecto vuông góc ( a b   

) 1 1 2 2 3 3 . 0 . . . 0 ab a b a b a b      

Tích có hƣớng của 2 vecto

3 3 2 1 1 2

2 3 3 1 1 2 , ; ; a a a a a a a b b b b b b b

        



Ba vecto , , a b c



đồng phẳng , . 0 a b c      

Ba vecto , , a b c



không đồng

phẳng

, . 0 a b c      

Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ( 1 k )

; ; 1 1 1

A B A B A B x kx y ky z kz M k k k            

Trung điểm M của AB ; ; 2 2 2

A B A B A B x x y y z z M         

Trọng tâm M của tam giác ABC

; ; 3 3 3

A B C A B C A B C x x x y y y z z z M            

Trong tâm M của tứ diện ABCD

; ; 4 4 4

A B C D A B C D A B C D x x x x y y y y z z z z M               

Góc giữa 2 vecto ,a b



1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3

, cos

. .

a b a b a b a b

a b a a a b b b     

   





Diện tích ABC 

1 , 2 ABC S AB AC       

Diện tích hình bình hành ABCD

, ABCD S AB AD     

4

Thể tích của tứ diện SABC

1 , . 6 ABCD V AB AC AS      

Thể tích của hình hộp ABCD.A’B’C’D’

. ' ' ' ' , . ' ABCD A B C D V AB AD AA     

* Lƣu ý:

- Tọa độ của 3 vecto đơn vị: (1;0;0) i  

, (0;1;0) j  

và (0;0;1) k 



- Tọa độ của điểm nằm trên các trục: + Trục Ox: M(x;0;0) + Trục Oy: M(0;y;0) + Trục Oz: M(0;0;z) - Tọa độ của điểm nằm trên các mặt phẳng tọa độ: + Mặt Oxy: M(x;y;0)

+ Mặt Oxz: M(x;0;y) + Mặt Oyz: M(0;y;z) (Quy tắc nhớ: Thiếu trục tọa độ nào thì tọa độ đó bằng 0)

 BÀI TẬP Phương pháp: Hiểu rõ lý thuyết, nắm vững các công thức trong tọa độ không gian cùng với các trường hợp vận dụng của từng công thức. Ngoài ra ta cần lưu ý các vấn đề thường gặp sau:

VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Cho các vecto a(2;3; 5)  

, b(0; 3;4)  

và c(1; 2;3)  

.Tìm tọa độ của vecto n 3a 2b c       

.

Hướng dẫn:

- Tọa độ của vecto n



:

Ta có: n 3a 2b c 3(2;3; 5) 2(0; 3;4) (1; 2;3)             

=(6;9;-15)+(0;-6;8)-(1;-2;3)=(6+0-1;(9+(-6)-(-2));((-15)+8-3)) =(5;5;-10)