Phương pháp giải các bài toán Tích phân Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

124

 Chuyên đề 4: TÍCH PHÂN

 Vấn đề 1:

BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu các tích phân cơ bản

1/   

b b

a a k.f(x)dx k f(x)dx 2/        

b b b

a a a f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx

3/     

b c b

a a c f(x)dx f(x)dx f(x)dx

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp

1.       dx x c; kdx kx c

2.

      

1 x x dx c, ( 1) 1

3.   

dx ln x c x

4.   

x x e dx e c

5.     

x x a a dx c (0 a 1) lna

6.   cosxdx sinx c

7.   sinxdx cosx c

8.    2 dx tanx c cos x

9.    2 dx cot x c sin x

10.   tanxdx ln cosx c

11.   cotxdx ln sinx c

(u = u(x))

1.

      

1 u u u'dx c ; ( 1) 1

2.   

u' dx ln u c u

3.   

u u e u'dx e c

4.     

u u a a u'dx c (0 a 1) lna

5.   u'cosudx sinu c

6.   u'sinudx cosu c

7.    2 u' dx tanu c cos u

8.    2 u' dx cot u c sin u

9.   u'tanudx ln cosu c

10.   u'cot udx ln sinu c

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

125

Đặc biệt: u(x) = ax + b;         

1 f(x)dx F(x) c f(ax b)dx F(ax b) c a

1.

       

1 1 (ax b) (ax b) dx c a 1

2.     

dx 1 ln ax b c ax b a

3.    

ax b ax b 1 e dx e a

4.     

x 1 a dx ln x c

5.     

1 cos(ax b)dx sin(ax b) c a

6.     

1 sin(ax b)dx cos(ax b) c a

7.      2

dx 1 tan(ax b) c a cos (ax b)

     2

dx 1 8. cot(ax b) c a sin (ax b)

1 9. tan(ax b)dx ln cos(ax b) c a      

    

1 10. cot(ax b)dx ln sin(ax b) c a

11.       2 2 dx 1 x a ln c 2a x a x a

B – ĐỀ THI

Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Tính tích phân

2

1

2x 1 I dx x(x 1)    

Giải

I =

2

1

(x 1) xdx x(x 1)     =

2

1

1 1 dx x 1 x          =  

2 1

6 lnx(x 1) ln ln3 2    .

Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010

Tính tích phân:    

1

0

2x 1 I dx x 1

Giải

   

1

0

2x 1 I dx x 1 =         

1

0

3 2 dx x 1 =    

1

0 2x 3ln x 1 = 2 – 3ln2.

Bài 3: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007

Tính các tích phân sau:     

 

2 4 3 2

2 1

x x 3x 2x 2 I dx x x

Giải

Chia tử cho mẫu, ta được:

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

126

         

4 3 2

2 2 2 x x 3x 2x 2 x 2 x 3 x x x x

=    

2 1 2 x 3 x 1 x

            

2

2

1

1 2 I x 3 dx x 1 x

           

2 3

1

x 3x ln x 1 2ln x 3

I =  16 3 ln 3 8

Bài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ – CÔNG NGHIỆP TPHCM NĂM 2007

Tính tích phân:   

x

1

dt I(x) t(t 1) , với x > 1. Từ đó tìm

 xlim I(x)

Giải

I(x) =  

           

x x

1 1

dt 1 1 dt t t 1 t t 1 =        

x x

1 1

t lnt ln t 1 ln t 1

=   x 1 ln ln x 1 2

   

          x x

x 1 lim I x lim ln ln ln2 x 1 2

Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005

Tính tích phân:  

4

sinx

0

tanx e cosx dx



 

Giải

   

  

      

4 4 4 sinx sinx

0 0 0 I tanx e .cosx dx tanxdx sinx 'e dx

=    

   sinx 4 4 0 0 ln cosx + e   

2 2 ln 2 e 1.

Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ 2

Tính tích phân: 

 

3

3 1

dx I

x x

Giải

                         

2 2 3 3 3 3

3 2 2 2 1 1 1 1 dx 1 x x 1 x 1 1 2x I dx dx dx x x 2 x x x(1 x ) x 1 x 1