Hướng dẫn giải và bài tập ứng dụng của tích phân Phạm Văn Huy

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 - 2017

O

y

x b a

( ) y f x =

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. LÝ THUYẾT I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Định lí 1. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục, không âm trên a;b    .

Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x = , trục hoành

và hai đường thẳng: x a,x b = = là:

( )

b

a S f x dx = ∫ .

Bài toán 1: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên a;b    . Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới

hạn bởi: Đồ thị hàm số ( ) y f x = ; trục Ox: ( y 0 = ) và hai đường thẳng x a;x b = = là:

( )

b

a S f x dx = ∫ .

Bài toán 2.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: ( ) ( ) 1 C : y f x = ,( ) ( ) 2 C : y g x = và hai

đường đường thẳng x a,x b = = . Được xác

định bởi công thức: ( ) ( ) b

a S f x g x dx = − ∫ .

Chú ý:

1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau: * Giải phương trình: ( ) ( ) f x g x = tìm nghiệm ( ) 1 2 n x ,x ,...,x a;b ∈

( ) 1 2 n x x ... x < < < .

Tính: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x b 1 2 a x x 1 n S f x g x dx f x g x dx ... f x g x dx = − + − + + − ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x b 1 a xn f x g x dx ... f x g x dx = − + + − ∫ ∫ .

Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

( ) ( ) 1 C : y f x = , ( ) ( ) 2 C : y g x = . Khi đó, ta có công thức tính như sau: ( ) ( )

xn

x1

S f x g x dx = − ∫ .

Trong đó: 1 n x ,x tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình: ( ) ( ) f x g x = .

II. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

a. Tính thể tích của vật thể Định lí 2. Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại

( ) x a,x b a b = = < . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm ( ) x a x b ≤ ≤ cắt C theo một

y

O a b

( ) y f x =

( ) y g x =

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 - 2017 thiết diện có diện tích ( ) S x . Giả sử ( ) S x là hàm liên tục trên a;b    . Khi đó thể tích của vật thể C giới

hạn bởi hai mp ( ) P và ( ) Q được tính theo công thức: ( )

b

a V S x dx = ∫ .

b. Tính thể tích vậy tròn xoay Bài toán 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường

( ) y f x ;y 0;x a;x b = = = = quanh trục Ox

Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ bằng

xlà một hình tròn có bán kính ( ) R f x = nên diện tích thiết diện bằng

( ) ( ) 2 2 S x R f x = π = π . Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

( ) ( )

b b 2

a a V S x dx f x dx = = π ∫ ∫ .

Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường ( ) ( ) y f x ,y g x , = = x a, x b = = (Với

( ) ( ) f x .g x 0 x a;b ≥ ∀∈   ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính

bởi công thức:

( ) ( )

b 2 2

a V f x g x dx = π − ∫ .

Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường

( ) x g y , y a, y b, Oy = = = quanh trục Oy được tính theo công thức: ( )

b 2

a V g y dy = π∫ .

Chú ý: Trong trường hợp ta không tìm được x theo y thì ta có thể giải bài toán theo cách sau. Chứng minh hàm số y f(x) = liên tục và đơn điệu trên [c;d] với

{ } { } c min g(a),g(b) ,d max g(a),g(b) = = . Khi đó phương trình y f(x) = có duy nhất nghiệm

x g(y) = .

Thực hiện phép đổi biến x g(y),dy f'(x)dx = = ta có:

d 2

c V x f'(x)dx = π∫ .

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

   y f(x), x a, x b và trục hoành Phương pháp Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

( ) y f x =

a b

y

x O