Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Lê Văn Đoàn

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán T.T Hoàng Gia – 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789 Trang - 1 -

Chuyeân ñeà

§ 1. NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM



Khái niệm nguyên hàm và tính chất

1. Khái niệm nguyên hàm

— Cho hàm số ( ) f x xác định trên . K Hàm số ( ) F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K nếu: ( ) ( ), . F x f x x K    

— Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K thì họ nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên

K là: ( )d ( ) , . f x x F x C const C      

2. Tính chất: Nếu ( ), ( ) f x g x là hai hàm số liên tục trên K và 0 k  thì ta luôn có:

 ( )d ( ) , f x x f x C     ( )d ( ) , f x x f x C      ( )d ( ) ,.... f x x f x C     

 ( )d . ( )d , kf x x k f x x    với k là số thực khác 0.

 ( ) ( ) d ( )d ( )d . f x g x x f x x g x x            

 ( ) ( ) F x f x   (định nghĩa).

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)

 0d . x C    d . k x kx C   



1 d . 1

n n x x x C n

     

1 1 ( ) ( ) d . 1

n n ax b ax b x C a n

      

 1 d ln . x x C x

    1 1 d ln . x ax b C ax b a     

 2 1 1 d . x C x x

    2 1 1 1 d . ( )

x C a ax b ax b

     

 sin d cos . x x x C     1 sin( )d cos( ) . ax b x ax b C a     

 cos d sin . x x x C     1 cos( )d sin( ) . ax b x ax b C a     

 2 1 d cot . sin

x x C x

    2

d 1 cot( ) . sin ( ) x ax b C a ax b

    

 2 1 d tan . cos

x x C x

    2

d 1 tan( ) . cos ( ) x ax b C a ax b

    

 d . x x e x e C     1 d . ax b ax b e x e C a

    

 d . ln

x x a a x C a     1 d . ln

x x a a x C a

   



    

♦ Nhận xét. Khi thay x bằng ( ) ax b  thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1

a



NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 3

Tài liệu ôn thi thpt Quốc Gia môn Toán T.T Hoàng Gia – 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Biên soạn & Giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789 Trang - 2 -

Dạng toán 1. Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm



1. Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP  khai triễn.

2. Tích các hàm mũ PP  khai triển theo công thức mũ.

3. Chứa căn PP  chuyển về lũy thừa.

4. Tích lượng giác bậc một của sin và cosin PP  Sử dụng công thức tích thành tổng.

 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b            1 sin sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b          

 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b          

5. Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: 2 2 1 1 1 1 sin cos2 , cos cos2 . 2 2 2 2 a a a a    

6. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ ( ) d , ( ) P x I x Q x  với ( ), P x ( ) Q x là các đa thức.

 Nếu bậc của tử số ( ) P x  bậc của mẫu số ( ) Q x PP  Chia đa thức.

 Nếu bậc của tử số ( ) P x  bậc của mẫu số ( ) Q x PP  phân tích mẫu ( ) Q x thành tích số, rồi sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số (pp che).

2 2 1 , ( )( )

A Bx C x m x m ax bx c ax bx c           với 2 4 0. b ac   

2 2 2 2 1

( ) ( ) ( ) ( ) A B C D x a x b x a x b x a x b            

 Lưu ý. Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến.

Baøi taäp vaän duïng

BT 1. Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) f x (giả sử điều kiện được xác định):

a) 2 2 1 1 ( ) 3 ( ) 3 d 3 3 f x x x F x x x x                  .................................................................

b) 3 2 ( ) 2 5 4 7 ( ) ( )d f x x x x F x f x x         .............................................................

c) 5 3 2 ( ) 6 12 8 ( ) ( )d f x x x x F x f x x         ............................................................

d) 2 2 ( ) ( 3 )( 1) ( ) ( 3 )( 1)d f x x x x F x x x x x          .............................................

 …