Nguyên hàm và tích phân hàm lượng giác

Chương 1

Các dạng toán và phương pháp

1 Các dạng toán cơ bản

Dạng 1

Tính tích phân tổng quát sau

I1 = Z (sin x)ndx; I2

Z (cos x)ndx

Phương pháp

Ta chú ý các công thức hạbậc sau

sin2x = 1 −cos 2x

2 ; cos2x = 1 + cos 2x

2 ;

sin3x = −sin 3x + 3 sin x

4 ; cos3x = cos 3x + 3 cos x

4

Nếu n chẵn hoặc n = 3 thì ta sẽsửdụng công thức hạbậc triệt để

Nếu n lẻvà lớn hơn 3 thì ta sẽsửdụng phép biến đổi sau.

Biến đổi 1. Ta có

I1 = Z (sin x)ndx = Z (sin x)2p+1dx = Z (sin x)2p sin xdx = − Z 1 −cos2x pd (cos x)

= − Z C0 p −C1 pcos2x + . . . + (−1)kCk p cos2x k + . . . + (−1)pCp p cos2x p d (cos x)

= −

C0 p cos x −1

3C1 pcos3x + . . . + (−1)k

2k + 1Ck p(cos x)2k+1 + . . . + (−1)p

2p + 1Cp p(cos x)2p+1 !

+ C

Biến đổi 2. Ta có

I2 = Z (cos x)ndx = Z (cos x)2p+1dx = Z (cos x)2p cos xdx = Z 1 −sin2x pd (sin x)

1

Nguyễn Minh Tuấn TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

= Z C0 p −C1 psin2x + . . . + (−1)kCk p sin2x k + . . . + (−1)pCp p sin2x p d (sin x)

=

C0 p sin x −1

3C1 psin3x + . . . + (−1)k

2k + 1Ck p(sin x)2k+1 + . . . + (−1)p

2p + 1Cp p(sin x)2p+1 !

+ C

Nhìn chung đây là một dạng toán không khó, cái khó của nó là phép biến đổi tương đối dài và

cồng kềnh ,và mấu chốt là hạbậc dần dần đểđưa vềnguyên hàm cơ bản. Sau đây ta sẽcùng

tìm hiểu ví dụvềphần này!

Tìm các nguyên hàm sau

• I = Z cos6xdx.

• I = Z (sin 5x)9dx.

• I = Z (cos 2x)13dx.

• I = Z (3 + cos x)5dx.

Bài 1

Lời giải

1. Biến đổi nguyên hàm ta có

I = Z cos6xdx = Z cos2x 3dx = Z 1 + cos 2x

2

3 dx

= 1

4

Z (1 + cos 2x)3dx = 1

4

Z 1 + 3 cos 2x + 3cos22x + cos32x dx

= 1

4

Z 1 + 3 cos 2x + 3 (1 + 2 cos 4x)

2 + cos 3x + 3 cos x

4

dx

= 1

16

Z (7 + 12 cos 2x + 12 cos 4x + cos 3x + 3 cos x) dx

= 1

16

7x + 6 sin 2x + 3 sin 4x + 1

3 sin 3x + 3 sin x + C

2. Biến đổi nguyên hàm ta có

I = Z (sin 5x)9dx = Z (sin 5x)8 (sin 5x) dx = −1

5

Z 1 −cos25x 4d (cos 5x)

= −1

5

Z 1 −4cos25x + 6cos45x −4cos65x + cos85x d (cos 5x)

Chinh phục Olympic Toán 2 h Tạp chí và tư liệu toán học

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Phạm Việt Anh

= −1

5

cos 5x −4

3cos35x + 6

5cos55x −4

7cos75x + 1

9cos95x + C

3. Biến đổi nguyên hàm ta có

I = Z (cos 2x)13dx = Z (cos 2x)12 cos 2xdx = 1

2

Z 1 −sin22x 6d (sin 2x)

1 −6sin22x + 15sin42x −20sin62x + 15sin82x −6sin102x + sin122x d (sin 2x)

= 1

2

sin 2x −2sin32x + 3sin52x −20

7 sin72x + 5

3sin92x −6

11sin112x + 1

13sin132x + C

4. Biến đổi nguyên hàm ta có

I = Z (3 + cos x)5dx = Z 35 + 5.34 cos x + 10.33cos2x + 10.32cos3x + 5.3cos4x + cos5x dx

= Z 243 + 405 cos x + 135 (1 + cos 2x) + 45

2 (cos 3x + 3 cos x) + 15

2 (1 + cos 2x)2 + cos5x dx

= Z 378 + 945

2 cos x + 135 cos 2x + 45

2 cos 3x + 15

2

1 + 2 cos 2x + 1 + cos 4x

2

+ cos5x dx

= Z 1557

4 + 945

2 cos x + 150 cos 2x + 45

2 cos 3x + 15

4 cos 4x dx + Z cos4x cos xdx

= 1

4

Z (1557 + 1890 cos x + 600 cos 2x + 90 cos 3x + 15 cos 4x) dx + Z 1 −sin2x 2d (sin x)

= 1

4

1557x + 1890 sin x + 300 sin 2x + 30 sin 3x + 15

4 sin 4x

+ Z 1 −2sin2x + sin4x d (sin x)

= 1

4

1557x + 1894 sin x + 300 sin 2x + 30 sin 3x + 15

4 sin 4x −8

3sin3x + 4

5sin5x + C

Tóm lại. Qua 4 ví dụtrên ta đã phần nào nắm được dạng toán này, riêng ởví dụ4 ta đã sử

dụng tới công thức khai triển hệsốNewton đểkhai trên biểu thức trong dấu nguyên hàm và

các bước còn lại chỉlà biến đổi thông thường.

Chinh phục Olympic Toán 3 h Tạp chí và tư liệu toán học