Nguyên hàm tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT QG môn Toán

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12

NỘI DUNG CÂU HỎI

Câu 1. Tính tích phân I =

π 2 Z

0 (sin 2x + sin x) dx

A. I = 5. B. I = 3. C. I = 4. D. I = 2.

Lời giải.

Ta có: I =

π 2 Z

0 (sin 2x + sin x) dx = Å −1

2 · cos 2x −cos x ã

π 2

0 = 2.

Chọn đáp án D □

Câu 2. Tính nguyên hàm I = Z Å 2x2 −3

x

ã dx.

A. I = 2

3x3 −3 ln x + C. B. I = 2

3x3 −3 ln |x| + C.

C. I = 2

3x3 + 3 ln x + C. D. I = 2

3x3 + 3 ln |x| + C.

Lời giải.

I = Z Å 2x2 −3

x

ã dx = 2

3x3 −3 ln |x| + C.

Chọn đáp án B □

Câu 3. Cho hai quảbóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi

quảbóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quảbóng A nảy ngược lại với vận tốc vA(t) = 8 −2t (m/s) và quảbóng B nảy ngược lại với vận tốc vB(t) = 12 −4t (m/s).

Tính khoảng cách giữa hai quảbóng sau khi đã dừng hẳn (Giảsửhai quảbóng đều chuyển động

thẳng).

A. 36 mét. B. 32 mét. C. 34 mét. D. 30 mét. Lời giải.

Thời gian quảbóng A chuyển động từlúc va chạm đến khi dừng hẳn vA(t) = 0 ⇔8−2t = 0 ⇒t = 4s.

Quãng đường quảbóng A di chuyển SA = Z 4

0 (8 −2t) dx = 16m

Thời gian quảbóng B chuyển động từlúc va chạm đến khi dừng hẳn vB(t) = 0 ⇔12 −4t = 0 ⇒

t = 3s.

Quãng đường quảbóng B duy chuyển SB = Z 3

0 (12 −4t) dx = 18m

Vậy: Khoảng cách hai quảbóng sau khi dừng hẳn là S = SA + SB = 34m. Chọn đáp án C □

Câu 4. Cho hàm sốy = f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f π

2

= −1 và với mọi x ∈R ta có

f ′(x) · f(x) −sin 2x = f ′(x) · cos x −f(x). sin x. Tính tích phân I =

π 4R

0 f(x) dx.

A. I = 1. B. I = √

2 −1. C. I =

√

2 2 −1. D. I = 2.

Lời giải.

Ta có f ′(x) · f(x) −sin 2x = f ′(x) · cos x −f(x) · sin x ⇔f ′(x) · f(x) −sin 2x = [f(x) · cos x]′.

Lấy nguyên hàm hai vế: R [f ′(x) · f(x) −sin 2x] dx = R [f(x) · cos x]′ dx

⇔f 2(x)

2 + 1

2 cos 2x = cos x · f(x) + C.

Vì f π

2

= −1 ⇒C = 0 ⇒f 2(x) + cos 2x = 2 cos x · f(x) ⇔f 2(x) −2 cos x · f(x) + cos2 x = sin2 x.

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Giải tích 12

⇔(f(x) −cos x)2 = sin2 x ⇔

" f(x) −cos x = sin x

f(x) −cos x = −sin x .

Vì f π

2

= −1 nên nhân f(x) = cos x −sin x.

Vậy I =

π 4R

0 f(x) dx =

π 4R

0 (cos x −sin x) dx = (cos x −sin x) π 4 0 = √

2 −1.

Chọn đáp án B □

Câu 5. Cho hàm sốy = f(x) liên tục trên R thỏa mãn

1 Z

0 f(x)dx = 3 và

5 Z

0 f(x)dx = 6. Tính tích

phân I =

1 Z

−1 f(|3x −2|)dx

A. I = 3. B. I = −2. C. I = 4. D. I = 9.

Lời giải.

Ta có

1 Z

−1 f(|3x −2|)dx =

2 3 Z

−1 f(−3x + 2)dx +

1 Z

2 3

f(3x −2)dx = I1 + I2.

I1 =

2 3 Z

−1 f(−3x + 2)dx = −1

3

2 3 Z

−1 f(−3x + 2)d(−3x + 2).

Đặt t = −3x + 2 suy ra x = −1 ⇒t = 5; x = 2

3 ⇒x = 0. Do đó I1 = 1

3

5 Z

0 f(t)dt = 2.

I2 =

1 Z

2 3

f(3x −2)dx = 1

3

Z

2 3

1f(3x −2)d(3x −2).

Đặt t = 3x −2 suy ra x = 1 ⇒t = 1; x = 2

3 ⇒x = 0. Do đó I2 = 1

3

1 Z

0 f(t)dt = 1.

Vậy I = I1 + I2 = 3.

Chọn đáp án A □

Câu 6. Tìm họnguyên hàm của hàm sốf(x) = x2ex3+1.

A. Z f(x) dx = ex3+1 + C. B. Z f(x) dx = 3ex3+1 + C.

C. Z f(x) dx = 1

3ex3+1 + C. D. Z f(x) dx = x3

3 ex3+1 + C.

Lời giải.

Ta có Z x2ex3+1 dx = 1

3

Z ex3+1 d(x3 + 1) = 1

3ex3+1 + C.

Chọn đáp án C □

Câu 7. Mệnh đềnào sau đây đúng?

A. Z xex dx = ex + xex + C. B. Z xex dx = −ex + xex + C.

C. Z xex dx = x2

2 ex + C. D. Z xex dx = ex + x2

2 ex + C.

Lời giải.

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra