Tích phân liên quan đến phương trình hàm ẩn

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Trang 731

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Các tính chất tích phân:

    d d d

b c b

a a c f x x f x x f x x      với a c b   .

     d d 0

b b

a a k f x x kf x x k    

   d dx

b a

a b f x x f x   

     d

b b

a a f x x F x F b F a    

       d d d

b b b

a a a f x g x x f x x g x x      

    d d d

b b b

a a a f x x f t t f z z     

     d

b b

a a f x x f x f b f a     

2. Công thức đổi biến số:       . , f u x u x dx f u du u u x     

    



  . ,

u b b

a u a f u x u x dx f u du u u x     

Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây:

 Giả sử cần tính 

b

a g x dx  . Nếu ta viết được  g x dưới dạng     f u x u x  thì

 



 u b b

a u a g x dx f u du    . Vậy bài toán quy về tính 



 u b

u a f u du  , trong nhiều trường hợp thì tích phân mới

này đơn giản hơn .

 Giả sử cần tính  f x dx



 . Đặt  x x t  thỏa mãn   , x a x b     thì

     

b b

a a f x dx f x t x t dt g t dt



       , trong đó      . g t f x t x t  

TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ẨN

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Trang 732

BÀI TẬP MẪU

Cho hàm số  f x liên tục trên , và thỏa mãn     3 2 10 6 1 2 , . xf x f x x x x x      

Khi đó 

0

1

f x dx

 bằng

A. 17 20  . B. 13 4  . C. 17

4

. D. 1 .

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Tính tích phân hàm ẩn.

...................................................................................................................................................................

2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Công thức đổi biến số trong tích phân:  

( )

( ) ( ) . ( ) d ( ) d

u b b

a u a f u x u x x f u u    

Tính chất tích phân:

( ) d 0

a

a f x x  

( ) d ( ) d ( ) d

b c b

a a c f x x f x x f x x     

( ) d ( ) ( ) ( )

b x b

x a a

f x x f x f b f a 

     

...................................................................................................................................................................

3. HƯỚNG GIẢI:

B1: Nhân cả hai vế của phương trình với x , rồi sử dụng tích phân hai vế để tính 

1

1

d f x x

 .

B2: Nhân cả hai vế của phương trình với x , rồi sử dụng tích phân hai vế để tính 

1

0

f x dx  .

B3: Kết luận 

0

1

f x dx

 .

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn B

Cách 1 : Dùng vi phân

Ta có:     3 2 10 6 1 2 , xf x f x x x x x      

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Trang 733

    2 3 2 11 7 2 1 2 , x f x xf x x x x x        *

Khi đó:      

1 1 1 2 3 2 11 7 2

1 1 1 * d 1 d 2 d , x f x x xf x x x x x x x

              

 

1 0

1 0

1 1 4 d d 3 2 3 f t t f t t

     

  

1 1 1

1 1 1

1 4 d 0 d 4 d 4 3 3 f t t f t t f x x

           

Mặt khác:      

1 1 1 2 3 2 11 7 2

0 0 0 * 1 2 x f x dx xf x dx x x x dx          

 

1 0

0 1

1 1 5 d d 3 2 8 f t t f t t     



1

0

5 5 d 6 8 f t t    

1

0

3 d 4 f t t    

1

0

3 4 f x dx   

Theo tính chất tích phân ta có:   

0 1 1

1 1 0

13 4 f x dx f x dx f x dx

       

Cách 2: (Tham khảo không giống phân tích ở trên)

Bậc cao nhất vế phải là 10 x , bậc cao nhất vế phải là   3 .x f x . Kết luận:  f x bậc 3 vì  

3 3 10 .x x x  .

Hệ số của bậc cao nhất vế phải là 1 . Kết luận: Hệ số của bậc cao nhất vế trái là 1 .

Vậy 

3 2 f x x ax bx c    .

   

2 3 10 3 10 7 . . ... ... x f x x x a x x ax       Vế phải không có 7x . Vậy 0 a 

Kết luận 

3 f x x bx c    .

        3 3 2 10 4 2 2 . 1 1 1 x f x f x x bx cx x b x c          

10 4 2 4 6 2 1 3 …