Bài tập khối tròn xoay chọn lọc Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay

Trang 15

I. Mặt cầu – Khối cầu: 1. Định nghĩa • Mặt cầu: { } S O R M OM R ( ; ) = = • Khối cầu: { } V O R M OM R ( ; ) = ≤

2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)). • Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và

bán kính 2 2 r R d = − . • Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S)) • Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung. Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn. 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆. Gọi d = d(O; ∆). • Nếu d < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt. • Nếu d = R thì ∆ tiếp xúc với (S). (∆ đgl tiếp tuyến của (S)). • Nếu d > R thì ∆ và (S) không có điểm chung. 4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón

5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện • Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó. • Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. – Xác định trục ∆ của đáy (∆ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy). – Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên. – Giao điểm của (P) và ∆ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. II. Diện tích – Thể tích

Cầu Trụ Nón

Diện tích 2 4 S R π = 2 xq S Rh π =

2 tp xq đáy S S S = +

xq S Rl π =

tp xq đáy S S S = +

Thể tích 3 4 3 V R π = 2 V R h π =

2 1 3 V R h π =

CHƯƠNG II KHỐI TRÒN XOAY

Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng

Trang 16

VẤN ĐỀ 1: Mặt cầu – Khối cầu Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và ) (ABC SA ⊥ .

a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A,

B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính 2 SC R = .

b) Cho SA = BC = a và 2 a AB = . Tính bán kính mặt cầu nói trên.

Bài 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngoài d. Một góc xAy di động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.

a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.

b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3, · 0 0 BAC 6 = .

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ) (ABCD SA ⊥ và

3 a SA = . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.

a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.

Bài 4. Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết 3 a CD = .

a) Tính AB.

b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.

Bài 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng 600. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường trung trực của cạnh SA, cắt SO tại K.

a) Tính SO, SA.

b) Chứng minh SMK SOA ∆ ∆ ∼ ( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS.

c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC.

d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.

a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.

b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng 3 R IS =

Bài 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh