Chuyên đề mặt cầu trong không gian Oxyz Phạm Văn Long

Chuyên đề: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Luyện thi Đại Học 2017

Giáo viên: PHẠM VĂN LONG( TP.Cần Thơ )…0913.518.110… CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1

R I B A

Giáo viên: PHẠM VĂN LONG

Lớp Toán thầy Long_Thành phố Cần Thơ Số điện thoại: 0913.518.110

CHUYÊN ĐỀ : MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

I- LÝ THUYẾT:

1/ Định nghĩa

2/ C{c dạng phƣơng trình mặt cầu

Dạng 1 : Phƣơng trình chính tắc

Mặt cầu (S) có tâm   ; ; I a b c , bán kính 0 R  .

       2 2 2 2 : S x a y b z c R      

Dạng 2 : Phƣơng trình tổng qu{t

2 2 2 ( ): 2 2 2 0 S x y z ax by cz d        (2)

 Điều kiện để phương trình (2) là phương trình

mặt cầu: 2 2 2 0 a b c d    

  S có tâm   ; ; I a b c .

  S có bán kính: 2 2 2 R a b c d     .

3/ Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu v| mặt phẳng

Cho mặt cầu   ; S I R và mặt phẳng  P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  P d IH   là

khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P . Khi đó :

+ Nếu d R  : Mặt cầu và mặt

phẳng không có điểm chung.

+ Nếu d R  : Mặt phẳng tiếp xúc

mặt cầu. Khi đó (P) là mặt phẳng

tiếp diện của mặt cầu và H là

+ Nếu d R  : Mặt phẳng (P)

cắt mặt cầu theo thiết diện là

đường tròn có tâm I' và bán

Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả

những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là

mặt cầu tâm I, bán kính R.

Kí hiệu:   ; S I R    ; / S I R M IM R   

Chuyên đề: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Luyện thi Đại Học 2017

Giáo viên: PHẠM VĂN LONG( TP.Cần Thơ )…0913.518.110… CLB Giáo viên trẻ TP Huế 2

tiếp điểm. kính 2 2 r R IH  

P

M2

M1

H

I R

R

I

H P

d

r I'

α

R

I

Lưu ý: Khi mặt phẳng  P đi qua tâm I thì mặt phẳng  P được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện

lúc đó được gọi là đường tròn lớn có diện tích lớn nhất.

4/ Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu v| đƣờng thẳng

Cho mặt cầu   ; S I R và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của I lên . Khi đó :

+ IH R  :  không cắt mặt

cầu.

+ IH R  :  tiếp xúc với mặt

cầu.  là tiếp tuyến của (S) và H

là tiếp điểm.

+ IH R  :  cắt mặt cầu tại

hai điểm phân biệt.

R

I

 H

H



I

R

H B

A

I

R

Δ

* Lƣu ý: Trong trường hợp  cắt  S tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

+ Xác định:   ; . d I IH 

+ Lúc đó:

2 2 2 2 2 AB R IH AH IH         

5/ Đƣờng tròn trong không gian Oxyz

* Đường tròn  C trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của  S và mặt phẳng P .



2 2 2 : 2 2 2 0 S x y z ax by cz d       

: 0 P Ax By Cz D    

* Xác định tâm I’ và bán kính r của (C).

+ Tâm  'I d    .

Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp P

d

r I'

α

R

I

P

P

Chuyên đề: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Luyện thi Đại Học 2017

Giáo viên: PHẠM VĂN LONG( TP.Cần Thơ )…0913.518.110… CLB Giáo viên trẻ TP Huế 3

+ Bán kính     

2 2 2 2 ' ; r R II R d I P       

5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S)   ; . d I R 

+ Mặt phẳng P là tiếp diện của (S)     ; . d I P R 

* Lƣu ý: Tìm tiếp điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z .

Sử dụng tính chất : 

0 0

0 0

d

P

IM d IM a IM P IM n

          

   

II. VÍ DỤ MINH HỌA :

Dạng 1: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Phương pháp:

* Thuật to{n 1: Bước 1: Xác định tâm   ; ; I a b c .

Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm   ; ; I a b c và bán kính R .

      2 2 2 2 ( ): S x a y b z c R      

* Thuật to{n 2: Gọi phương trình 2 2 2 ( ): 2 2 2 0 S x y z ax by cz d       

Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được , , , . a b c d ( 2 2 2 0 a b c d     )

B|i tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

a)  S có tâm   2;2; 3 I  và bán kính 3 R  .

b)  S có tâm   1;2;0 I và (S) qua   2; 2;1 P  .

c)  S có đường kính AB với     1;3;1 , 2;0;1 A B  .

Bài giải:

a) Mặt cầu tâm   2;2; 3 I  và bán kính 3 R  , có phương trình:

(S):       2 …