Bài tập mũ và lôgarit vận dụng cao có lời giải chi tiết Nguyễn Xuân Chung

Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung

CHỦ ĐỀ MŨ LÔGARIT CHỌN LỌC VD - VDC

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT VÀ BÌNH LUẬN

I. CÁC BÀI TOÁN CỦA BGD

Câu 1: (BGD - Đề thi thử nghiệm THPTQG 2017 C20)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( ) 6 3 .2 0 x x m m + − − = có

nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

A. 3;4       B. 2;4       C. ( ) 2;4 D. ( ) 3;4 .

Hướng dẫn.

Biến đổi phương trình ( ) ( ) 6 3.2 1 2 6 3.2

1 2

x x x x x x m m f x + + = + ⇒ = = +

là hàm số liên tục trên

khoảng (0; 1); ( ) ( )

( )

2 12 ln6 ln 3 6 ln6 3.2 ln2 ' 0 1 2

x x x

x f x − + + = > + và ( ) ( ) 0 2, 1 4 f f = = . Chọn C.

Lời bình.

Nhìn chung: các bài toán có tham số m nếu "cô lập được m " thì nên giải theo phương pháp trên. Trong nhiều trường hợp ta đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai (hay phương trình đa thức), từ đó biện luận phương trình theo m.

Bằng máy tính Casio, ta vào Mode 7 và nhập hàm ( ) f x trên đoạn 0;1       ta cũng khảo sát được

các giá trị của ( ) f x .

Câu 2: (BGD - Đề thi thử nghiệm THPTQG 2017 C21)

Xét các số thực ,a b thỏa mãn 1 a b > > . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( ) 2 2 log 3log a b b

a P a b

  = +   

bằng

A. 19 B. 13 C. 14 D. 15.

Hướng dẫn.

Đặt ( )

( )

2

2 2 1 4 3 log 0;1 3 1 3 1 1 a b t P t t t t

          = ∈ ⇒ = + − = + −           −     − . Ta có:

( )

2 4 3 12 3 1 1 1 12 9 12 12 6 1 1 1 2 1 P t t t t t t t

            = − + + + ≥− + + = − + + +          − − −     −   

9 12 6. 15 1 1 2 P t t t ≥− + = −+ −+ . Dấu bằng có 1 3 t ⇔ = min 15 P ⇒ = . Chọn D.

Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung

Lời bình.

Trong bài toán có cơ số là phân số thì ta tìm cách khử phân số này đi, bằng công thức đổi cơ số:

( ) ( ) ( )

( )

2

2 2

2 2 2

2 2 4 log log 2log 1 log log

a a a b b b a a

a a a a b b

                    = = = =                −                     

. Cần chú ý đến bình phương

của logarit mà nhiều học sinh dễ mắc sai lầm.

Ở đây ta dùng bất đẳng thức để giải toán, tuy nhiên ta có thể khảo sát hàm số ẩn t

( )

( )

( )

2 3 1 4

1

t P t t t

− = + − có dạng bậc hai trên bậc ba, đối với một số học sinh đạo hàm cũng

tương đối phức tạp, ngoài ra còn phải tìm nghiệm của đạo hàm, lập bảng biến thiên . . .Như vậy xem như đây bài toán khó nằm ở độ phức tạp và kỹ năng đạo hàm và biến đổi logarit.

Câu 3: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2017 C33)

Cho các số thực , 0 a b > thỏa mãn log 3 a b = . Tính log b a

a P b = bằng

A. 5 3 3 −+ B. 1 3 + C. 1 3 −− D. 5 3 3 −− .

Hướng dẫn.

Từ giả thiết 3 log 3 a b b a = ⇒ = , khi đó:

3 2 3 2 1 3 log log . 1 3 2 3 2 b a a

a

a a P b a

  −    = = = = +       −   . Chọn B.

Lời bình.

Cách giải trên khá cơ bản, tức là dùng phép thế để biến đổi logarit theo a , kết quả không phụ thuộc vào , 0 a b > . Bằng máy tính Casio ta có thể chọn cặp , 0, 1 a b a > ≠ tùy ý để tính. Ở đây

cần đòi hỏi kỹ năng biên đổi cơ số, hay là công thức ( ) log loga a b b β α α β = . Bài toán ở mức VD.

Câu 4: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2017 C45)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc 2017;2017   −    để phương trình

( ) ( ) log 2log 1 mx x = + có nghiệm duy nhất?

A. 2017. B. 4014. C. 2018. D. 4015 .

Hướng dẫn.

Điều kiện 1, 0 x x > − ≠ . Phương trình trở thành ( ) ( ) 2 1 1 2 mx x m x f x x = + ⇒ = + + =

( )

2

2 1 ' 0 1 x f x x x

− ⇒ = = ⇔ = ± . Ta có bảng biến thiên: