Một số phương pháp giải phương trình mũ và logarit THPT chuyên Quảng Bình

Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình

Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 1

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình mũ cơ bản.

Dạng 1. ( ) ( )

1

0, 1 ( ) ( )

f g f x g x

a x D D a a a a f x g x

 =  ∈ ∩   = ⇔ > ≠    =  

Dạng 2. ( )

1 ( )

0, 1, 0 ( ) log

f x

a

a f x b a b a a b f x b

 =    =   = ⇔ > ≠ >   =  

Dạng 3.

( ) ( )

( ) ( )log 0, 1, 0, 1

f x g x

a a b f x g x b a a b b

 = ⇔ = > ≠ > ≠ 

2. Phương trình mũ biến ñổi về dạng tích. VD1. Phương trình: 1 1 12.3 3.15 5 20 (4 5 )(3 5) 0 x x x x x + + + − = ⇔ + − = (ðHuế - D2001) VD2. Phương trình: 3 2 3 2 3 2 2 .3 2.2 3.3 6 0 (2 3)(3 2) 0 x x x x x x − − − − − − − − + = ⇔ − − = 3. Biến ñổi tương ñương. VD. Giải phương trình

2 lg10 lg lg100 4 6 2.3 x x x − = (1)

(1) ⇔

2lg lg 1 lg lg 2 2lg 2lg lg 2lg 2 2 4 6 2.3 4.2 6 18.3 4 18 0 3 3

x x x x x x x x + +     − = ⇔ − = ⇔ − − =        

lg

lg

2 9 3 4 1 lg 2 100 2 2 3

x

x x x

  =      ⇔ ⇔ = −⇔ =    = −     

4. Các phương trình mũ không mẫu mực. VD1. Giải phương trình 1 4 2 4 2 2 16 x x x + + + + = + HD. 1 4 2 2 4 2 2 16 4.4 16.2 4.2 16 4.2 12.2 16 0 x x x x x x x x + + + + = + ⇔ + = + ⇔ + − = ðặt 2 0 x t = > VD2. Giải phương trình

2 2 2 3 2 6 5 2 3 7 4 4 4 1 x x x x x x − + + + + + + = + HD. ðặt

2 2 2 3 2 6 5 2 3 7 4 , 4 4 x x x x x x u v uv − + + + + + = = ⇒ = Pt ñã cho tương ñương u + v = uv + 1⇔(u - 1)(1 - v) =0

VD3. Giải phương trình 2 4.3 9.2 5.6

x x x − =

Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình

Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6/2009 2

HD. 2 4.3 9.2 5.6

x x x − = ⇔ 3 2 4.3 9.2 5.( 6) 4. 9 5 0 2 3

x x

x x x     − = ⇔ − − =            

ðặt 3 2 1 0 2 3

x x t t

    = > ⇒ =            

VD4. Giải phương trình 4 5 9 x x x + = HD. i) x = 1 là nghiệm

ii) 4 5 4 5 9 1 9 9

x x x x x     + = ⇔ + =        

x < 1: 4 4 5 5 4 5 , + 1 9 9 9 9 9 9

x x x x           > > ⇒ >                    

x > 1: 4 4 5 5 4 5 , + 1 9 9 9 9 9 9

x x x x           < < ⇒ <                    

VD5. Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm, có nghiệm duy

nhất: 1 1 3 2 3

x m −= −

HD. Ta có

1

1

1

1 , x 1 1 3 1 3 , x 1 3

x

x

x

y

−

−

−

 ≥  = =   ≤ 

=

1 3 , x 1 3 1.3 , x 1 3

x

x

  ≥       ≤ 

Vẽ ñồ thị và dựavào ñồ thị, ta có kết quả:

i) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 < 3m - 2 ≤ 1 ⇔ 2 1 3 m < ≤.

ii) Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 3m - 2 = 1 ⇔m = 1. * Bài tập luyện tập: 1. Giải phương trình:

2 2 2 2 4 4 6 6 4 5 2 2 1956 1958 1979 1981 1976 1982 54 x x x x x x x x + + + + + + + + + = 2. Giải phương trình:

2 2 1 1 2 2 5 x x − + + = 3. Giải phương trình: 4 3 4 3 4 3 4.( 5 1) 3( 5 1) 2 x x x − − − − − + = 4. Giải phương trình: 2 2 log log 2 (2 2) (2 2) 1 x x x x + + − = + 5. Giải phương trình: 3 2 (2 3) 2(2 3) 2(2 3) 1 x x x + + + − − = 6. Giải phương trình:

nếu nếu

nếu nếu