Ứng dụng phương pháp hàm số giải phương trình mũ và logarit

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Trang 696

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Định lý: Nếu hàm số  y f x  đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên   ;a b thì

*     ; ; : u v a b f u f v u v      .

* Phương trình  f x k    k const  có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng   ;a b .

2. Định lý: Nếu hàm số  y f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên   ;a b , đồng thời

 lim . lim ( ) 0 x a x b f x f x      thì phương trình    f x k k const   có duy nhất nghiệm trên   ;a b .

3. Tính chất của logarit:

1.1. So sánh hai logarit cũng cơ số:

Cho số dương 1 a  và các số dương ,b c .

 Khi 1 a  thì log log a a b c b c    .

 Khi 0 1 a   thì log log a a b c b c    .

1.2. Hệ quả:

Cho số dương 1 a  và các số dương ,b c .

 Khi 1 a  thì log 0 1 a b b   .

 Khi 0 1 a   thì log 0 1 a b b   .

 log log a a b c b c    .

2. Logarit của một tích:

Cho 3 số dương 1 2 , , a b b với 1 a , ta có

1 2 1 2 log ( . ) log log a a a b b b b  

3. Logarit của một thương:

Cho 3 số dương 1 2 , , a b b với 1 a , ta có

1 1 2 2 log log log a a a b b b b  

Đặc biệt: với , 0, 1 a b a   1 log log a a b b  .

4. Logarit của lũy thừa:

Cho , 0, 1 a b a  , với mọi , ta có

log log a a b b    .

Đặc biệt: 1 log log n a a b b n  (n nguyên dương).

5. Công thức đổi cơ số:

Cho 3 số dương , , a b c với 1, 1 a c  , ta có

log log log

c a c

b b a  .

Đặc biệt: 1 log log a c c a  và 1 log loga a b b    với

0  .

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Trang 697

BÀI TẬP MẪU

Có bao nhiêu cặp số nguyên   ;x y thỏa mãn 0 2020 x   và   3 log 3 3 2 9 ? y x x y    

A. 2019. B. 6. C. 2020 . D. 4.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình mũ, logarit.

Phương pháp

Tìm hàm đặc trưng của bài toán, đưa phương trình về dạng   f u f v  .

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Đưa phương trình đã cho về dạng   f u f v  .

B2: Xét hàm số  y f t  trên miền D .

* Tính y và xét dấu y.

* Kết luận tính đơn điệu của hàm số  y f t  trên D .

B3: Tìm mối liên hệ giữa ;x y rồi tìm các cặp số   ;x y rồi kết luận.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn D

ĐK: 1 x .

Ta có   3 log 3 3 2 9y x x y    

 

    3 log 3 3 2 1 3 3log 3 3 3 3 2 1 3 (*) x y x y        

Xét hàm số  3 3t f t t   trên , vì  3 3 .ln 3 0, 0 t f t t      nên hàm số  f t đồng biến trên .

Từ đó  *       3 log 3 3 2 1 f x f y       3 log 3 3 2 1 x y    .

Mặt khác       3 3 3 0 2020 log 3 3 1;log 6063 2 1 1;log 6063 x x y               

  3 1 2 1 log 6063 0 3 y y y Z

        . Vậy có 4 cặp   ;x y thỏa mãn.

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 47.1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số   2019; 2019  m để phương trình

2 1 2 1 2019 0 1 2        

x x mx m x x có đúng 3 nghiệm thực phân biệt ?

A. 4038 . B. 2019 . C. 2017 . D. 4039 .

Lời giải

Chọn C