Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị Trương Thế Thiện

A) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I) KIẾN THỨC CƠ BẢN Giả sử hàm số y f x ( ) có tập xác định D.

x Hàm số f đồng biến trên D œ y x D 0, c t  và y 0 c chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. x Hàm số f nghịch biến trên D œ y x D 0, c d  và y 0 c chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.

x Nếu y ax bx c a 2 ' ( 0) z thì:

+ a y x R 0 ' 0, 0 ' ­ ! t  œ ® d ¯ + a y x R 0 ' 0, 0 ' ­ d  œ ® d ¯

x Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x ax bx c a 2 ( ) ( 0) z :

+ Nếu ' < 0 thì g x ( ) luôn cùng dấu với a.

+ Nếu ' = 0 thì g x ( ) luôn cùng dấu với a (trừ b x a 2 )

+ Nếu ' > 0 thì g x ( ) có hai nghiệm x x 1 2 , và trong khoảng hai nghiệm thì g x ( ) khác dấu với

+ x x P S 1 2

0 0 0 0

' ­ t ° d œ ! ® ° ¯ + x x P S 1 2

0 0 0 0

' ­ t ° d œ ! ® ° ! ¯ + x x P 1 2 0 0 œ

x a b g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) max ( ) d  œ d ; a b g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) min ( ) t  œ t

II) CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 1. Tìm điều kiện để hàm số y f x ( ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác

+ a y x R 0 ' 0, 0 ' ­ ! t  œ ® d ¯ + a y x R 0 ' 0, 0 ' ­ d  œ ® d ¯

2. Tìm điều kiện để hàm số y f x ax bx cx d 3 2 ( ) đơn điệu trên khoảng ( ; ) a b .

Ta có: y f x ax bx c 2 ( ) 3 2 c c .

a) Hàm số f đồng biến trên ( ; ) a b œ y x 0, ( ; ) c t  a b và y 0 c chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ; ) a b .

Trường hợp 1: x Nếu bất phương trình f x h m g x ( ) 0 ( ) ( ) c t œ t (*)

a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g x ( ) cùng dấu với a.

x So sánh các nghiệm , x x 1 2 của tam thức bậc hai g x ( ) ax2 bx c với số 0:

định). x Hàm số f đồng biến trên D œ c 0, t y x v D à yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. x Hàm số f nghịch biến trên D œ c 0, d y x v D à yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.

x Nếu y a 2 x bx c ' (a z thì: 0)

Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện

[www.toanmath.com]

thì f đồng biến trên ( ; ) a b œ h m g x ( ; ) ( ) max ( ) t a b

x Nếu bất phương trình f x h m g x ( ) 0 ( ) ( ) c t œ d (**)

thì f đồng biến trên ( ; ) a b œ h m g x ( ; ) ( ) min ( ) d a b

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x ( ) 0 c t không đưa được về dạng (*) thì đặt t x a . Khi

đó ta có: y g t at a b t a b c 2 2 ( ) 3 2(3 ) 3 2 D D D c .

– Hàm số f đồng biến trên khoảng a ( ; ) f œ g t t ( ) 0, 0 t œ

a a S P

0 0 0 0 0 0

' '

­ ! °° ­ ! ! › ® ® d ! ¯ ° t °¯

– Hàm số f đồng biến trên khoảng a ( ; ) f œ g t t ( ) 0, 0 t ! œ

a a S P

0 0 0 0 0 0

' '

­ ! °° ­ ! ! › ® ® d ¯ ° t °¯

x Nếu bất phương trình f x h m g x ( ) 0 ( ) ( ) c d œ t (*)

thì f nghịch biến trên ( ; ) a b œ h ( ; ) a b

x Nếu bất phương trình f x h m g x ( ) 0 ( ) ( ) c t œ d (**)

m g x ( ; ) ( ) min ( ) d a b

a a S P

0 0 0 0 0 0

' '

­ °° ­ ! › ® ® d ! ¯ ° t °¯

a a S P

0 0 0 0 0 0

' '

­ °° ­ ! › ® ® d ¯ ° t °¯

x f đơn điệu trên khoảng x x 1 2 ( ; ) œ y 0 c có 2 nghiệm phân biệt x x 1 2 , œ a 0 0 ' ­ z ® ! ¯ (1)

x Biến đổi x x d 1 2 thành x x x x d 2 2 1 2 1 2 ( ) 4 (2)

x Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. x Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

4. Tìm điều kiện để hàm số ax bx c y a d dx e

2 (2), ( , 0) z

b) Hàm số f nghịch biến trên ( ; a b ) œ c 0, t y x( ; a b ) và yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ; a b ) .

Trường hợp 1:

m ( ) t max g(x)

thì f nghịch biến trên ( ; a b ) œ h

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình cf x ( ) d 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t x a . Khi

đó ta có: cy g( )t 3at 2 (3a ) b t 3 D D a 2 2 2 b D c .

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng f ( ;a ) œ g t( ) 0, d t 0 œ

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng a ( ; f) œ g t( ) 0, d t ! 0 œ

3. Tìm điều kiện để hàm số y f ( ) x ax b 3 2 x cx d đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k cho trước.

Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện

[www.toanmath.com]