Xác định hệ số của hàm số khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị

VÍ DỤ MINH HỌA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

ĐỀ MINH HỌA TỐT NGHIỆP THPT 2020: Cho hàm số ( ) 1 ax f x bx c + = + ( ) , , a b c có bảng biến thiên

như sau:

Trong các số ,a b và c có bao nhiêu số dương?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.

PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

1. DẠNG TOÁN: Đây là bài toán ở dạng vận dụng: Từ bảng biến thiên xác định dấu các hệ số a, b và c

của hàm số ( ) 1 ax f x bx c + = + .

2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Cho hàm số ( ) ax b f x cx d + = +

Đồ thị hàm số ( ) ax b f x cx d + = + có tiệm cận đứng là đường thẳng d x c = − .

Đồ thị hàm số ( ) ax b f x cx d + = + có tiệm cận ngang là đường thẳng a y c = .

Đạo hàm của hàm số ( ) ax b f x cx d + = + là ( ) ( )

2 ' ad bc f x cx d

− = +

.

3. HƯỚNG GIẢI:

B1: Từ công thức của hàm số ( ) 1 ax f x bx c + = + chỉ ra phương trình đường thẳng của tiệm cận đứng, tiệm

cận ngang và công thức tính đạo hàm của nó.

B2: Từ bảng biến thiên chỉ ra tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số và chiều biến thiên của hàm số đó.

B3: Thay các dữ kiện ở bước 1 vào bước 2 ta sẽ xác định được dấu của các hệ số a, b và c.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

LỜI GIẢI CHI TIẾT

XÁC ĐỊNH HỆ SỐ CỦA HÀM SỐ KHI BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ

Chọn C

Đồ thị hàm số ( ) 1 ax f x bx c + = + có đường tiệm cận đứng là đường thẳng c x b = − và đường tiệm cận ngang

là đường thẳng a y b = .

Từ bảng biến thiên ta có:

2

2 1

c c b a b a b

− =   = = −   = 

(1)

Mặt khác: ( ) ( )

2 ' ac b f x bx c

− = +

.

Vì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( ) ;2 − và ( ) 2;+ nên

( ) ( )

2 ' 0 0 ac b f x ac b bx c

− =   −  +

(2)

Thay (1) vào (2), ta được:

2 2 0 0 0 1 2 2 c c c c c − +  − +    .

Suy ra c là số dương và a, b là số âm.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN - PHẦN 1

Câu 1: Cho hàm số ( )

2 4 ax m f x bx c + + = + ( ) , , , a b c m có bảng biến thiên như sau:

Trong các số a , b và c có bao nhiêu số dương?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải Chọn C

Tiệm cận đứng: 3 0 x =  0 c b −  0 bc   .

Tiệm cận ngang: 1 0 y =  0 a b   0 ab   .

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3 0 x  

2 4 0 m a + −  0 a   0 b 

0 c  .

Câu 2: Cho hàm số ( ) 9 ax f x bx c + = + ( ) , , a b c có bảng biến thiên như sau:

x − 3 +

( ) f x  + +

( ) f x

1

+

−

1

Trong các số a , b và c có bao nhiêu số dương?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải Chọn B

Tiệm cận đứng: 2 0 x = − 0 c b −  0 bc   .

Tiệm cận ngang: 3 0 y =  0 a b   0 ab   .

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2 0 x − 9 0 a −  0 a   0 b  

0 c  .

Câu 3: Cho hàm số ( ) ax b f x cx d + = + ( ) , , , , 0 a b c d a   có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng? A. 0 b  , 0 c  , 0 d  . B. 0 b  , 0 c  , 0 d  . C. 0 b  , 0 c  , 0 d  . D. 0 b  , 0 c  , 0 d  . Lời giải Chọn A

Tiệm cận ngang: 2 0 y =  0 a c   , mà 0 a  0 c  .

Tiệm cận đứng: 1 0 x = − 0 d c −  0 d c   , mà 0 c  0 d   .

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1 0 x − 0 b a −  0 b a   0 b   .

Câu 4: Cho hàm số ( ) ax b f x cx d + = + ( ) , , , , 0 a b c d a   có bảng biến thiên như sau:

x − 1 +

( ) f x  + +

( ) f x

2

+

−

2

x − 1 − +

( ) f x  – –

( ) f x 2

−

+

2

x − 2 − +

( ) f x  – –

( ) f x 3

−

+

3