Tính đơn điệu của hàm ẩn cho bởi đồ thị hàm f'(x)

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành công là nói không với lười biếng”

1

https://luyenthitracnghiem.vn https://www.facebook.com/vietgold

Câu 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM ẨN

CHO BÔÛI ÑOÀ THÒ HAØM F’(X)

1 Định nghĩa 1

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và   y f x là một hàm số xác định trên K. Ta

nói:

+ Hàm số   y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu    1 2 1 2 1 2 , ,      x x K x x f x f x + Hàm số   y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu    1 2 1 2 1 2 , ,      x x K x x f x f x

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.

2 Nhận xét

Nhận xét 1 Nếu hàm số  f x và  g x cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số    f x g x cũng đồng

biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu    f x g x .

Nhận xét 2 Nếu hàm số  f x và  g x là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số

  . f x g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số

  , f x g x không là các hàm số dương trên D.

Nhận xét 3 Cho hàm số   u u x , xác định với   ;  x a b và   ;  u x c d . Hàm số      f u x cũng xác định với

  ;  x a b . Ta có nhận xét sau:

i. Giả sử hàm số   u u x đồng biến với   ;  x a b . Khi đó, hàm số      f u x đồng biến với

   ;   x a b f u đồng biến với   ;  u c d .

ii. Giả sử hàm số   u u x nghịch biến với   ;  x a b . Khi đó, hàm số      f u x nghịch biến với

   ;   x a b f u nghịch biến với   ;  u c d .

3 Định lý 1

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì  ' 0,   f x x K .

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì  ' 0,   f x x K .

4 Định lý 2

KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Khai thác và phát triển câu hỏi đề tham khảo 2020

2

https://www.facebook.com/vietgold https://luyenthitracnghiem.vn

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f đồng biến trên K.

b) Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f nghịch biến trên K.

c) Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f không đổi trên K.

Chú ý Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn   ;a b và    ' 0, ;   f x x a b thì hàm số f đồng biến trên đoạn

  ;a b .

5 Định lý 3

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu  ' 0,   f x x K và  ' 0  f x chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.

b) Nếu  ' 0,   f x x K và  ' 0  f x chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

 Nếu  ' 0 f x  với mọi x K  và  ' 0 f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm x K  thì hàm số f đồng

biến trên K .

 Nếu  ' 0 f x  với mọi x K  và  ' 0 f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm x K  thì hàm số f nghịch

biến trên K .

1 Lời giải tham khảo

Bùi Sỹ Khanh – Nguyễn Đức Lợi – Huỳnh Đức Vũ

Câu 50. Cho hàm số ( ). y f x Hàm số ( ) y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số

2 ( ) (1 2 ) g x f x x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

BÀI TẬP MẪU II.