Phương pháp giải 35 dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số Đỗ Minh Tuấn

Đỗ Minh Tuấn

Trang 1

Dạng 1: Cho hàm số ( , ) y f x m  có tập xác định D. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên D

Cách giải

 Hàm số đồng biến trên D ' 0, y x D   

 Hàm số nghịch biến trên D ' 0, y x D   

Chú ý:

Nếu ' 2 y ax bx c    thì: ' 0 0, 0 a y        và ' 0 0, 0 a y       

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số ( , ) y f x m  đơn điệu trên một khoảng ( ; ) a b

Cách giải

 Hàm số đồng biến trên ' ( ; ) 0, ( ; ) a b y x a b   

 Hàm số nghịch biến trên ' ( ; ) 0, ( ; ) a b y x a b   

 Sử dụng kiến thức:

    ( ; ) ( ), ( ; ) max ( )

a b m f x x a b m f x và     ( ; ) ( ), ( ; ) min ( )

a b m f x x a b m f x

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số      3 2 ( , ) y f x m ax bx cx d đơn điệu trên một khoảng có độ dài bằng k cho trước.

Cách giải

 Ta có: ' 2 3 2 y ax bx c   

 Hàm số đồng biến trên khoảng 1 2 ( ; ) x x PT: ' 0 y  có hai nghiệm phân biệt 1x và 2 x 0

0 a     (1)

 Biến đổi   1 2 x x k thành 2 2 1 2 1 2 ( ) 4 x x x x k    (2)

 Sử dụng định lý Viet, đưa phương trình (2) thành phương trình theo m

 Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số ( , ) y f x m  có cực trị

Cách giải

 Đối với hàm số:     3 2 y ax bx cx d . Khi đó, ta có: ' 2 3 2 y ax bx c   

Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ và CT  PT: ' 2 3 2 0 y ax bx c     có hai nghiệm phân biệt

 Đối với hàm số:

2 ax bx c y mx n     . Khi đó, ta có:

2 '

2 2 2 ( ) ( )

( ) ( )

amx anx bn cm g x y

mx n mx n

      

Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ và CT

 PT: 2 ( ) 2 ( ) 0 g x amx anx bn cm      có hai nghiệm phân biệt khác n m 

35 DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

Trang 2

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số ( , ) y f x m  đạt cực trị tại điểm 0x

Cách giải

 Hàm số đạt cực trị tại điểm 0x thì: ' 0 ( ) 0 y x  . GPT này ta tìm được giá trị của m

 Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem có thỏa mãn hay không?

 Nếu B3 y  hoặc B4 y  thì vận dụng kiến thức: ''

0 0 ( ) 0 y x x   là điểm CĐ

''

0 0 ( ) 0 y x x   là điểm CT

 Nếu B2 B1 y  thì kiểm tra bằng cách lập bảng biến thiên

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số ( , ) y f x m  có cực trị tại hai điểm 1x , 2x và các điểm cực trị đó thỏa mãn một hệ thức (I) nào đó.

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị (1)

 Vận dụng định lý Viet, ta có hệ thức liên hệ giữa 1x và 2x

 Biến đổi hệ thức (I) đã cho và vận dụng định lý Viet để tìm được m

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số ( ) y f x 

Cách giải

 Đối với hàm số 3 2 y ax bx cx d     :

 Thực hiện phép chia đa thức y cho 'y và viết hàm số dưới dạng: ' ( ). y u x y Mx N   

 Gọi 1 1 ( ; ) A x y và 2 2 ( ; ) B x y là hai điểm cực trị. Khi đó: 1 1 y Mx N   và 2 2 y Mx N  

 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: y Mx N  

 Đối với hàm số

2 ax bx c y mx n     :

 Chứng minh bổ đề: Nếu hàm số ( ) ( ) u x y v x  có ' 0

0

( ) 0

( ) 0

y x

v x

     thì

'

0 0 '

0

( ) ( )

( )

u x y x

v x 

 Áp dụng bổ đề:

Gọi 1 1 ( ; ) A x y và 2 2 ( ; ) B x y là hai điểm cực trị. Khi đó: 1 1 2ax b y m

  và 2 2 2ax b y m

 

 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: 2a b y x m m  

Dạng 8: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số ( , ) y f x m  có các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị 1x và 2 x (1)

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa 1x và 2 x (2)