Bài toán khoảng cách trong không gian Phạm Hồng Phong

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84

1

BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Loại 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, một đường thẳng

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) bằng khoảng cách

từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng).

Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng  P được

ký hiệu là    d M; P .

H là hình chiếu vuông góc của M lên  P thì

   d M; P MH 

Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng

 được ký hiệu là   d M;.

H là hình chiếu vuông góc của M lên 

thì

  d M; MH  .

2. Bài toán cơ bản: Nhiều bài toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, từ điểm tới đường

thẳng có thể quy về bài toán cơ bản sau

Bài toán: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến

mặt phẳng   SBC và khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC.

Cách giải

H

P

M

Δ

M

H

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84

2

Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, H là chân

đường vuông góc hạ từ A xuống SD . Ta có

+)   SA ABC   BC SA  , lại có BC AD  (do dựng) 

  BC SAD   SD BC     d S;BC SD  .

+) Từ chứng minh trên, đã có   BC SAD   AH BC  , lại

có AH SD  (do vẽ)    AH SBC       d A; SBC AH 

.

3. Một số lưu ý

* Về cách tính khoảng cách một cách gián tiếp

+)  MN P         d M; P d N; P  .

+)  

M,N Q

Q P

    

       d M; P d N; P  .

+)  MN P I          d M; P d M; Q

MI NI  .

Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm của MN        d M; P d N; P  .

+) MN        d M; d N;  .

+)MN I       d M; d M; MI NI    .

Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm của MN      d M; d N;  .

* Về cách sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho hình chóp

1 2 n S.A A ...A . Ta có

 

3VS.A A ...A 1 2 n 1 2 n SA A ...A 1 2 n d S, A A ...A     .

* Khoảng cách từ một đường thẳng tới mặt phẳng song song với nó: Cho  P  , M là một

điểm bất kỳ trên . Khi đó

      d ; P d M; P   .

* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Cho  P Q  , M là một điểm bất kỳ trên

 P . Khi đó

S

A C

B

D

H

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84

3

      d P ; Q d M; Q  .

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. [ĐHD03] Cho hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau, cắt nhau theo giao

tuyến . Lấy A , B thuộc  và đặt AB a  . Lấy C , D lần lượt thuộc  P và  Q sao cho

AC , BD vuông góc với  và AC BD a   . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng phẳng

  BCD .

Giải

Ta có   P Q  ,   P Q  ,  AC P  ,

AC    AC Q   BD AC  . Lại có

BD AB     BD ABC   1 .

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A

xuống BC . Vì ABC  vuông cân tại A nên

AH BC  và 2 2 2 a BC AH   .

Từ  1 suy ra AH BD     AH BCD  . Do đó H là chân đường vuông góc hạ từ A lên

  BCD     

2 2 ; a d A BCD AH   .

Ví dụ 2. [ĐHD12] Cho hình hộp đứng . ' ' ' ' ABCD A B C D có đáy là hình vuông, tam giác ' A AC

vuông cân, ' A C a  . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  ' BCD theo a .

Giải

Q

P

Δ

a

a

a H

A B

C

D