Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 410

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng

Khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của

nó lên mặt phẳng đó.

   , d M MM    với M là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng .

1.1. Khoảng cách từ điểm M bất kì đến mặt phẳng   có chứa đường cao của hình chóp (lăng

trụ…)

Phương pháp:

Bước 1: Quy khoảng cách từ điểm M về điểm A thuộc mp đáy.

Bước 2: Tìm giao tuyến của mp đáy với mp  

Bước 3: Từ A dựng AH vuông góc với giao tuyến tại H . Khi đó    ; AH d A  

* Công thức tính tỉ lệ khoảng cách:      

d M,mp P MO = AO d A,mp P

1.2. Khoảng cách từ hình chiếu vuông góc A của đỉnh S đến mp bên 

Phương pháp:

Bước 1: Tìm giao tuyến của  với mp đáy.

Bước 2: TừA dựng AH vuông góc với giao tuyến tại H .

Bước 3: Nối SH , dựng AK vuông góc SH tại K . Khi đó    ; AK d A   .

1.3. Khoảng cách từ điểm bất kì đến mp bên.

d

P

A

O H

M

K

d P

M

O K

A

H

BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 411

Phương pháp: Quy khoảng cách từ điểm đó đến mp bên về khoảng cách từ điểm là hình chiếu của đỉnh S

đến mp bên.

2. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên

đường thẳng này tới mặt phẳng kia.

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này tới mặt

phẳng kia.

4. Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

4.1. Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

,

,

a b

a A b B

          , d a b AB  

4.2. Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1:Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và

mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.

     , , d a b d a   .Với   / /

b

a





   .

Cách 2:Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt

chứa hai đường thẳng đó.

     , , d a b d    . Với     / /

a

b





 

      

.

NHÓMWORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020

Trang 412

Cách 3: Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.

BÀI TẬP MẪU

Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang, 2 AB a  , AD DC CB a    , SAvuông góc với

mặt phẳng đáy và 3 SA a  (minh họa như hình bên dưới). Gọi M là trung điểm của AB .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng

A. 3 4 a B. 3 2 a C. 3 3 13 a D. 3 3 13 a

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng khoảng cách từ đường thẳng DM đến

mặt phẳng   SBC .

B2: Tính khoảng cách từ DM đến mặt phẳng   SBC thông qua khoảng cách từ điểm A đến   SBC .

B3: Tính và kết luận

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn A

M

C

B A

D

S