Xác định góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Trang 162

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1) Góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.

Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu u  và v  lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai

đường thẳng a và b thì góc  của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức

 

. cos cos , . .

u v u v u v  

  

2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Muốn xác định góc của đường thẳnga và  P ta tìm hình chiếu vuông góc a của a trên  P .

Khi đó,        , , ' a P a a 

3) Góc giữa hai mặt phẳng:

Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng   và  .

Khi đó, góc giữa   và   là        , ,a b    . Tính góc    ,a b .

Phương pháp 2:

Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng   và  .

Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao

tuyến c tại một điểm trên c . Khi đó:        , ,a b    .

a

a'

P

c

b

a

β

φ

α

XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG - HAI MẶT PHẲNG

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Trang 163

Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ   vuông góc với giao tuyến c mà   a     ,

  b     . Suy ra        , ,a b    .

4) Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian:

Chọn hệ trục thích hợp và cụ thể hóa tọa độ các điểm.

a) Giả sử đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là ,a b  .

Khi đó:       . cos , , .

a b a b a b a b  



 

b) Giả sử đường thẳng a có vectơ chỉ phương là a  và  P có vectơ pháp tuyến là n  .

Khi đó:         . sin , , .

a n a P a P a n  



 

c) Giả sử mặt phẳng   và   lần lượt có vectơ pháp tuyến là ,a b  .

Khi đó:         . cos , , .

a b

a b      



 

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3 a , SA vuông

góc với mặt phẳng đáy, 2 SA a  (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

  ABCD bằng:

A. 30. B. 45. C. 60. D. 90.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định hình chiếu của SC trên mặt phẳng   ABCD

B2: Tính góc giữa SC và hình chiếu của nó.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Trang 164

Lời giải

Chọn A

Ta có:   SA ABCD  nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng   ABC .

Do đó:          , , . SC ABCD SC AC SCA  

Xét hình vuông ABCD ta có: 6. AC a 

Xét SAC  vuông tại A , ta có:   o 2 1 tan 30 . 6 3 SA a SCA SCA AC a     

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 17.1: Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho

SA a  và vuông góc với   ABC . Tính góc giữa SD và BC

A. 60. B. 90. C. 45. D. 30.

Lời giải

Chọn C

Ta có:        0 / / , , 45 AD BC SD BC SD AD ADS     .

Câu 17.2: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với 2 , BC a  SA vuông góc với mặt

phẳng đáy, 3 SA a  (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng SD và BC nằm trong

khoảng nào?

C

A D

B

S

C

A D

B

S