Các dạng toán về góc trong hình học không gian Trần Đình Cư

Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 2

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 8. GÓC TRONG KHÔNG GIAN ........................................................................ 3

DẠNG 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ..................................................................... 3

DẠNG 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG ............................................................... 9

DẠNG 3. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ...................................... 15

Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 3

I

A

B C

D

S

H

K

CHỦ ĐỀ 8. GÓC TRONG KHÔNG GIAN

DẠNG 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD), SA AB a, AD 3a    . Gọi M là trung điểm BC. Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng

(ABCD) và (SDM)

A. 5

7 B. 6

7 C. 3

7 D. 1

7

Hướng dẫn giải

Kẻ SH MD, H MD   ,

mà   SA MD SAH MD AH MD     

Do đó       SMD , ABCD SH,AH SHA   

Ta lại có:

2

2 2 AMD

1 3a a 13 S .3a.a , MD CD CM 2 2 2     

AMD 2S 6a 13 7a 13 AH SH DM 13 13     

AH 6 cos SH 7    . Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng (SMD) và (ABCD) bằng 6

7

Vậy chọn đáp án B.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AB 2a  và góc 0 BAD 120  . Hình

chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I của hai đường chéo và

a SI 2  . Tính góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD)

A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 Hướng dẫn giải

Ta có 0 0 BAD 120 BAI 60   

Suy ra:

0

0

BI sin60 BI a 3 AB

AI AI a cos60 AB

               

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB. Ta có:

  AB SHI AB SH   

Do đó:   SH,IH SHI  

Xét tam giác vuông AIB có: 2 2 2 1 1 1 3 IH a 2 IH IA IB    

0 SI 1 tanSHI SHI 30 HI 3     hay 0 30  .

Vậy chọn đáp án A.

M

A

B C

D

S

H

Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 4

Câu 3*. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a  , SA SB  và

0 ACB 30 , SA SB   . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 3a

4 . Tính cosin góc

giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)

A. 5 33 B. 3 13 C. 65 13 D. 2 5

11

Hướng dẫn giải

Gọi D là trung điểm của BC, suy ra tam giác ABD đều cạnh a.

Gọi I, E là trung điểm của BD và AB, H là giao của AI và DE. Khi

đó dễ thấy H là trọng tâm tam giác ABD.

Ta có AI BC, DE AB  

Vì SA SB SE AB    , suy ra   AB SDE AB SH   

Khi đó ta có   SH ABC 

Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên SA, khi đó IK là đoạn

vuông góc chung của SA và BC.

Do đó   a IK d SA;BC 4   

Đặt

2

2 a 3 a 3 a SH h, AI , AH SA h 2 3 3      

Lại có

2

2 SAI

a 3 3a a AI.SH IK.SA 2S h h h a 2 4 3       

Gọi M là hình chiếu của A lên SI, khi đó   AM SBC  . Gọi N là hình chiếu của M lên SC, khi đó

       SC AMN SAC , SBC ANM    

Ta có: a 3 a 39 AI.SH 3a HI ; SI AM 6 6 SI 13     

Mặt khác 2 2 a 39 5a a 30 IM AI AM SI SM SI IM ; SC 26 3 39         

Ta lại có MN SM SM.CI 3a 130 SMN SCI MN CI SC SC 52       

AM 2 10 tan MN 5    hay 65 cos 13  .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là  với 65 cos 13  .

Vậy chọn đáp án C.

Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có a 10 AB 2a, AC a, AA' 2    , 0 BAC 120  . Hình chiếu

vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính số đo góc giữa hai mặt

phẳng (ABC) và (ACC’A’)

A. 0 75 B. 0 30 C. 0 45 D. 0 15

30°

I H E D

A C

B

S

K

M

N