Chuyên đề góc và khoảng cách trong không gian Nguyễn Nhanh Tiến

Ð LATEX Hóa Nguyễn Hữu Nhanh Tiến h /ToanTienNhanh

Hướng tới kì thi THPTQG 2019

GÓC - KHOẢNG CÁCH

§1. Các dạng toán liên quan đến tính Góc

1. 1 Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua

một điểm và lần lượt song song với a và b.

a

a′

b

b′ O

L Đểxác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thểlấy điểm O thuộc một trong hai đường

thẳng đó rồi vẽmột đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

L Nếu #»u và #»v lần lượt là vec-tơ chỉphương của a và b, đồng thời (#»u, #»v ) = α thì góc giữa hai

đường thẳng a và b bằng α nếu 0◦≤α ≤90◦và bằng 180◦−α nếu 90◦< α ≤180◦.

L Nếu a và b là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0◦.

!

Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Ta thường có hai phương pháp đểgiải

quyết cho dạng toán này.

¹ Phương pháp 1: Sửdụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, kết hợp sửdụng hệthức

lượng trong tam giác (định lý cos, công thức trung tuyến).

¹ Phương pháp 2: Sửdụng tích vô hương của hai vec-tơ.

Ví dụ1.

161 -Bùi ThịXuân Tp Huế 1 TT Quốc Học Huế

Ð LATEX Hóa Nguyễn Hữu Nhanh Tiến h /ToanTienNhanh

Cho tứdiện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng

(BCD). Biết tam giác BCD vuông tại C và AB = a √

6 2 ,

AC = a √

2, CD = a. Gọi E là trung điểm của AC (tham

khảo hình vẽbên). Góc giữa hai đường thẳng AB và DE

bằng

A. 45◦. B. 60◦. C. 30◦. D. 90◦. B D

E

A

C

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm của BC, suy ra EI ∥AB.

Khi đó (AB, DE) = (EI, ED) = [ IED.

Ta có

 



DC ⊥BC (giảthiết)

DC ⊥AB (AB ⊥(BCD)) ⇒DC ⊥(ABC),

suy ra DC vuông góc với EC. Do đó

DE2 = CD2 + EC2 = CD2 + AC2

4 = 3a2

2 ⇒DE = a √

6 2 .

Ta có IE = AB

2 = a √

6 4 và BC2 = AC2 −AB2 = a2

2 .

Tam giác ICD vuông tại C nên

DI2 = CD2 + IC2 = CD2 + BC2

4 = 9a2

8 .

B D

E

A

C

I

Áp dụng định lý cô-sin cho tam giác IDE, ta có

cos [ IED = IE2 + DE2 −CD2

2IE · DE =

3a2

8 + 3a2

2 −9a2

8

2 · a √

6 4 · a √

6 2

= 1

2 ⇒[ IED = 60◦.

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng 60◦.

!

Có thểchứng minh EI vuông góc với mặt phẳng (BCD), suy ra tam giác EID vuông tại I để

tính góc [ IED đơn giản hơn mà không cần sửdụng định lý cô-sin.

Ví dụ2. Cho tứdiện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết tam giác BCD

vuông tại C và AB = a √

6 2 , AC = a √

2, CD = a. Gọi E là trung điểm của AD (tham khảo

hình vẽdưới đây).

161 -Bùi ThịXuân Tp Huế 2 TT Quốc Học Huế

Ð LATEX Hóa Nguyễn Hữu Nhanh Tiến h /ToanTienNhanh

B D

E

C

A

Góc giữa hai đường thẳng AB và CE bằng

A. 60◦. B. 45◦. C. 30◦. D. 90◦.

Hướng dẫn giải:

Gọi F là trung điểm của BD, suy ra EF ∥AB nên

(AB, CE) = (EF, CE).

Do AB ⊥(BCD) nên EF ⊥(BCD), suy ra △EFC

vuông tại F.

Mặt khác

 



CD ⊥BC

CD ⊥AB ⇒CD ⊥AC.

Ta có EF = 1

2AB = a √

6 4 , AD = √

AC2 + CD2 = a √

3.

△ACD vuông tại C và có E là trung điểm của AD nên

CE = 1

2AD = a √

3 2 .

cos [ CEF = EF

EC =

√

2 2 ⇒[ CEF = 45◦.

Vậy (AB, CE) = (EF, CE) = [ CEF = 45◦.

B D

E

C

F

A

Ví dụ3.

Cho hình lăng trụđứng tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam

giác cân AB = AC = a, [ BAC = 120◦, cạnh bên AA′ = a √

2. Tính

góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC (tham khảo hình vẽbên).

A. 90◦. B. 30◦. C. 45◦. D. 60◦.

B

C

B′

C′

A

A′

Hướng dẫn giải:

161 -Bùi ThịXuân Tp Huế 3 TT Quốc Học Huế