Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 12 THPT năm học 2018 2019 sở Hà Nội

1

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12, THÀNH PHỐ HÀ NỘI

NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số 2 1 x y x − = + có đồ thị ( ) C và đường thẳng d có phương trình y x m = + ,

m là tham số. Tìm m để d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tổng hệ số góc của

các tiếp tuyến với ( ) C tại A và B là lớn nhất.

Lời giải

Tập xác định 1 \ 2 D   = −     ℝ . Ta có đạo hàm ( )

2 1

2 1 y x

− ′ = + .

Phương trình hoành độ giao điểm 2 1 x x m x − = + + ( ) ( ) 2 2 2 1 0 g x x m x m ⇔ = + + + = .

Ta có

2 2 2 1 2 1 0,

1 1 0, 2 2

m m m m m

g m

′ ∆= + + − = + > ∀    − = − ≠ ∀     

nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị ( ) C tại hai

điểm phân biệt A , B với mọi giá trị thực m .

Gọi 1x , 2x là hoành độ của điểm A và B khi đó

( ) 1

2

S m

m P

= − +  = 

.

Suy ra ( ) ( ) 2 2

1 2

1 1

2 1 2 1 K x x

    = − +   + +   ( )

2

2 4 8 4 2

4 2 1

S P S

P S

− + + = − + + ( ) 2 4 2 2 m = − + ≤−.

Vậy tổng hệ số góc lớn nhất của các tiếp tuyến với ( ) C tại A và B bằng 2 − đạt được khi

0 m = .

Câu 2: (5 điểm) a) Giải phương trình 2 cos 1 x x = −

Lời giải

Xét hàm số 2 ( ) cos 1 f x x x = + −với x ∈ℝ.Ta có '( ) sin 2 f x x x = − + ;

''( ) cos 2 f x x = − + .Vì ''( ) 0 f x > x ∀∈ℝ '( ) f x ⇒ đồng biến trên ℝ. Mà '(0) 0 f = suy ra

phương trình '( ) 0 f x = có nghiệm duy nhất 0 x = .

Bảng biến thiên:

2

Từ bảng biến thiên suy ra ( ) 0 0 f x x = ⇔ = .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 0 x = .

b) Giải hệ phương trình

2 2

2

3 2 6 2 3 0

5 2 3

x y xy x y

x y x y

 + + − − + =  − + = + 

Lời giải

Ta có: 2 2 3 2 6 2 3 0 x y xy x y + + − − + =

( ) ( )

2 2 2 2 3 3 2 4 6 0 x y x y y y ⇔ + − + − + + −=

2 2 4 6 0 y y ⇒ + −≤ ⇔ 1 3 y ≤ ≤ ( ) 1 .

Lại có: 2 5 2 3 x y x y − + = + ( ) 2 2 3 3 2 1 0 x x y y y ⇔ − + + + + − =

( ) ( )

2 3 2 1 0 x y y ⇔ − + + − = ( ) 2 1 0 y ⇒ − ≤ 1 y ⇔ ≥ ( ) 2 .

Từ ( ) 1 và ( ) 2 1 y ⇒ = .Thay 1 y = vào hệ được 2 x = .

Vậy hệ có nghiệm là 2

1

x

y

= = 

.

Câu 3: (3 điểm) Cho dãy số ( ) na xác định bởi

2

1 1 2 1 , ; 1,2,... 2 1

n n n n

a a a n a a + = = = − +

a) Chứng minh dãy số ( ) na là dãy số giảm.

b) Với mỗi số nguyên dương ,n đặt 1 2 ... . n n b a a a = + + + Tính lim . n n b →+∞

Lời giải

a) Xét hiệu ( )

2 2

1 2 2

1 . 1 1

n n n n n n n n n n

a a a a a a a a a a + − − − = − = − + − +

3

Từ cách xác định dãy số ta có 0 na n > ∀ và 2 * 1 1 0 0 n n n n a a a a n N + − + > ⇒ − < ∀∈

Vậy ( ) na là dãy số giảm.

b) Ta có

2

1 2 2 1 1 1 1 1 1

n n n n n n n n n

a a a a a a a a a + − + + − − = = + − + − +

2

1 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

n n n n n n n n n n

a a a a a a a a a a + +

− − + ⇒ −= ⇒ = = + − + − − −

1

1 1 1 1 n n n a a a + ⇒ = − − −

Suy ra 1 2 1 1 1

1 1 1 ... 2 1 1 1 n n n n b a a a a a a + + = + + + = − = + − − − (1)

Lại có: Dãy số ( ) na là dãy số giảm, bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn, giả sử

2

1 2 lim lim 0 1 n n n n a a a a a a a a a + →+∞ →+∞ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − + hay lim 0 n n a →+∞ = (2)

Từ (1) và (2) ta có lim 1. n n b →+∞ =

Câu 4: (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I , đường cao AH .

Gọi E là hình chiếu của B trên AI , HE cắt AC tại P . Gọi M là trung điểm của BC . Biết

( ) 6; 4 H − ; ( ) 11;1 P và ( ) 10; 4 M − .

Lời giải

M

F

P

E

H

I

C B

A

Hình 1

P

M

F

E

H

I

C B

A

Hình 2

H không trùng M nên tam giác ABC không cân.

Vẽ đường kính AF của đường tròn( ) I .