Đề thi chọn HSG THPT năm học 2017 2018 môn Toán 12 sở Hà Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT

NĂM HỌC: 2017 - 2018

Môn: Toán – Lớp 12 Thời gian làm bài: 180 phút.

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Cho hàm số 3 2 2 3 2 3 3(1 ) y x mx m x m m       , với m là tham số thực. Chứng minh

rằng m ∀ ∈ hàm số trên luôn có hai điểm cực trị. Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số trên thỏa mãn điều kiện điểm M vừa là điểm cực đại của đồ thị hàm số ứng với giá trị này của m đồng thời điểm M vừa là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với giá trị khác của m .

2. Cho hàm số 2 1 1 x y x + = +

có đồ thị ( ) C , điểm (3;3) I và đường thẳng : d y x m = −+ . Tìm m

để đường thẳng d cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho diện tích tứ giác OAIB bằng 6

(O là gốc tọa độ). Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải bất phương trình sau trên tập số thực

2 2 2 16 96 208 9 log 2 3 4 6 3 5 9 12 16 45 81 x x x x x x x x

                      

.

2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực

2 1 2

2 2 3

3

2.4 1 2 2log ( )

2 4 1 1 2 1 3

y x x y

x x y x x

           

.

Câu 3. (2,0 điểm) Tính tích phân

2 2

2 2

4

. ( 1)cos 1 sin 2

x I dx x x x x



    

Câu 4. (5,0 điểm) 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AB=SD=3a, AD=SB=4a, đường chéo AC vuông góc với mặt phẳng (SBD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA. 2. Cho mặt cầu có tâm O và bán kính R. Từ một điểm S bất kỳ trên mặt cầu ta dựng ba cát tuyến

bằng nhau, cắt mặt cầu tại các điểm A, B, C ( khác với S) và  ASB  BSC  CSA   . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo R và α . Khi α thay đổi, tìm α để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất. Câu 5. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) S đi qua điểm (2; 2;5) A − và

tiếp xúc với các mặt phẳng ( ) : 1;( ) : 1;( ) : 1 x y z α β γ = = − = . Viết phương trình mặt cầu ( ) S .

Câu 6. (2,0 điểm) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 1 ab ≥ và ( ) 3 c a b c + + ≥.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 6ln( 2 ) 1 1 b c a c P a b c a b         .

---HẾT--- Họ và tên thí sinh……………………………….Số báo danh……………………….......................... Người coi thi số 1……………………………….Người coi thi số 2.………………...........................

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM (Hướng dẫn chấm có 07 trang)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT

NĂM HỌC 2017 - 2018 Hướng dẫn chấm môn: Môn Toán – Lớp 12 Câu ý Nội dung Điểm Câu

1 5,0đ

1. (2,5đ)

TXĐ: D 

  2 2 ' 3 6 3 1 y x mx m     0,25

1 ' 0 1 x m y x m = −  = ⇔= + 

Hàm số luôn có hai điểm cực trị 0,25

2 1 3 2 x m y m m = −⇒ = − + − . 0,25

Điểm cực tiểu của đồ thị 2 ( 1; 3 2) m m m − − + − 0,25 2 1 3 2 x m y m m = + ⇒ = − + + . 0,25

Điểm cực đại của đồ thị 2 ( 1; 3 2) m m m + − + + 0,25

Quỹ tích điểm cực tiểu của đồ thị là (P): 2 y x x = − + 0,25

Quỹ tích điểm cực đại của đồ thị là (P’): 2 5 2 y x x = − + − 0,25 Điểm M vừa là điểm cực đại ứng với giá trị này của m, vừa là điểm cực tiểu ứng với giá trị khác của m nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

2

2

1 2 1 5 2 4

x y x x

y x x y

=   = − +   ⇔   = − + −   = 

0,25

Vậy 1 1 ( ; ) 2 4 M 0,25

2. 2,5đ

TXĐ:   \ 1 D   

Phương trình hoành độ giao điểm : 2 1 1 x x m x + = −+ +

.

0,25

2 (3 ) 1 0 x m x m ⇔ + − + − = . 0,25

2 2 5 0 m m m ∆= − + > ∀ . Đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

0,25

Gọi 1 1 2 2 ( ; ), ( ; ) A x x m B x x m − + − +

Theo Vi-ét 1 2 1 2 3; 1 x x m x x m + = − = −

0,25

2 2 2 2 1 1 2 1 2 2( ) 2[( ) 4 ] 2( 2 5) AB x x x x x x m m ⇒ = − = + − = − + 0,25

3 2 OI = 0,25

Tứ giác OAIB có OI AB ⊥ 0,25

2 1 1 . .3 2. 2( 2 5) 2 2 OAIB S OI AB m m = = − + .

0,25

2 3 2 5 m m = − + 0,25