Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 12 cấp tỉnh năm 2018 2019 sở Gia Lai

Vũ Ngọc Thành Latex hóa

KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI 2018-2019 MÔN THI: TOÁN 12-BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phút, không kểthời gian phát đề

Câu 1. Cho hàm sốy = 2x + 1

x−1 có đồthị(H) và đường thẳng d : y = (m2 +1)x−2 (với m là

tham số). Tìm tất cảgiá trịcủa m đểd cắt (H) tại hai điểm phân biệt có hoành độx1,x2 sao cho biểu thức P = 12(x1 + x2)+11x1x2 đạt giá trịlớn nhất.

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀTHI-CHUYÊN ĐỀ

Lời giải Phương trình hoành độgiao điểm của (H) và d là

2x+1

x−1 = (m2 +1)x−2 ⇔(m2 +1)x2 −(m2 +5)x+1 = 0

(do x = 1 không là nghiệm phương trình) Đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phân biệt

⇔(m2 +5) 2 −4(m2 +1) > 0 ⇔(m2 +3) 2 +12 > 0

Suy ra ∀m ∈R thì d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt.

Ta có x1 + x2 = m2 +5

m2 +1;x1.x2 = 1 m2 +1

P = 12(x1 + x2)+11x1.x2 = 12 àm2 +5

m2 +1

¶ +11 µ 1 m2 +1

¶ = 12+ 59 m2 +1 ≤71

Do đó P đạt giá trịlớn nhất là 71 khi m = 0. Vậy m = 0 là giá trịcần tìm. □

Câu 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp các sốthực

1. x4 −6x3 +6x2 +9x = 2 p

x2 −3x .

2. 7x −6log7(6x+1)−1 = 0 .

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀTHI-CHUYÊN ĐỀ

Lời giải

1. x4 −6x3 +6x2 +9x = 2 p

x2 −3x ⇔(x2 −3x)2 −3(x2 −3x)−2 p

x2 −3x = 0 Đặt t = p

x2 −3x , t ≥0 , phương trình trởthành t4 −3t2 −2t = 0 ⇔t = 0;t = 2;t = −1 (loại) Với t = 0 suy ra x = 0, x = 3 Với t = 2 suy ra x = −1, x = 4 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x = 0, x = 3 ,x = −1, x = 4

1

Vũ Ngọc Thành Latex hóa

2. Điều kiện x > −1

6 . Đặt y = log7(6x+1) , khi đó 7y = 6x+1 .

Kết hợp với phương trình đã cho ta có hệ

( 7x = 6y+1

7y = 6x+1 .

Suy ra 7x −7y = 6y−6x ⇔7x +6x = 7y +6y (1). Xét hàm sốf (t) = 7t +6t . Ta có f ′(t) = 7t ln7+6 > 0,∀t ∈R nên hàm sốf đồng biến trên R . Do đó (1) ⇔f (x) = f (y) ⇔x = y . Suy ra 7x −6x−1 = 0 (*)

Xét hàm sốg(x) = 7x −6x−1 trên khoảng µ −1

6;+∞ ¶ .

Ta có g′(x) = 7x ln7−6; g′′(x) = 7x(ln7)2 > 0 nên đồthịhàm sốg lõm trên khoảng µ −1

6;+∞ ¶

. Do đó (*) có không quá hai nghiệm thuộc µ −1

6;+∞ ¶

Mà g(0) = 0, g(1) = 0 nên x = 0, x = 1 là tất cảcác nghiệm của (*). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 0, x = 1.

□

Câu 3. Tìm hệsốcủa sốhạng chứa x5 trong khai triển (1+ x+ x2)n , biết n là sốtựnhiên thỏa mãn hệthức C0 2n +C2 2n +C4 2n +···+C2n 2n = 512 .

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀTHI-CHUYÊN ĐỀ

Lời giải Ta có

C0 2n +C2 2n +C4 2n +ããã+C2n 2n = 512 ⇔ 1 2.(C0 2n +C1 2n +C2 2n +ããã+C2n 2n) = 512

⇔ 1 2.22n = 512

⇔ n = 5

(1+ x+ x2)5 = [1+ x(1+ x)]5 = 5X

k=0 Ck 5xk(1+ x)k = 5X

k=0

à kX

i=0 Ck 5Ci kxk+i !

, (i,k ∈N, i ≤k)

Vì sốhạng chứa x5 nên

( i + k = 5

i,k ∈N, i ≤k , giải ra ta được

( i = 0

k = 5 ;

( i = 1

k = 4 ;

( i = 2

k = 3 Hệsốcần tìm là C5 5C0 5 +C1 4C4 5 +C2 3C3 5 = 51 □

Câu 4. Cho tam giác ABC có AB = c,BC = a,CA = b , ha là độdài đường cao xuất phát từđỉnh A và b + c = a

2 + ha p

3 . Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀTHI-CHUYÊN ĐỀ

Lời giải

2