Đề thi chọn HSG thành phố Toán 12 năm 2019 2020 sở Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

HÀ NỘI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN

Ngày thi: 03 tháng 10 năm 2019

Thời gian làm bài: 180 phút (đề thi gồm 01 trang)

Bài I (4 điểm)

Cho hàm số 3 2 3 ( 4) 2 y x x m x m       có đồ thị   m C và điểm 3 2; . 2 M       

Tìm m để đường

thẳng 2 2 y x   cắt   m C tại ba điểm phân biệt ( 1;0) A  , B, C sao cho MBC  là tam giác đều.

Bài II (5 điểm)

1) Giải phương trình: 2 2 22 29 2 2 2 3. x x x x      

2) Giải hệ phương trình:         3 3 2 2 2 2

4 4 2 2

6 6 . 8 8 8 8 9 16 ( )

x y y x x x y y

x y x y xy x y

        

      

Bài III (3 điểm)

Cho dãy số   nu xác định bởi 1

3 3 u  ,

2

1

1 1 n n

n

u u u 

  ; 1,2, n  

1) Chứng minh   nu là dãy số bị chặn.

2) Chứng minh 2020

1 2 2019

. 1 1 1 2 u u u   

Bài IV (6 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I với M, (1; 1) N  lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA, CD. Biết điểm B có hoành độ dương và đường thẳng MB có phương trình

3 6 0 x y    , tìm tọa độ điểm C.

2) Cho hình chóp S.ABC có 2 CA CB   , 2 AB  , SAB  là tam giác đều, ( ) ( ). mp SAB mp ABC  Gọi D là chân đường phân giác trong hạ từ đỉnh C của tam giác SBC.

a) Tính thể tích khối chóp D.ABC.

b) Gọi M là điểm sao cho các góc tạo bởi các mặt phẳng (MAB), (MBC), (MCA) với mặt phẳng (ABC)

là bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4 . MA MB MS MC       

Bài V (2 điểm)

Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn 3. a b c    Tìm giá trị lớn nhất của:

3 3 3 3 3 3. P a b c a b c      

--------------- HẾT ---------------

NHÓM TOÁN VD – VDC Đ thi h c sinh gi i l p 12

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1

NHÓM TOÁN VD – VDC

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

Ngày thi : 3/10/2019

KỲ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2019 - 2020

MÔN: TOÁN

Thời gian: 180 phút

Họ và tên: .......................................................................................... SBD: ................................................. .

Bài I. (4 điểm)

Cho hàm số   3 2 3 4 2 y x x m x m       có đồ thị   m C và điểm 3 2; . 2 M        Tìm m để đường thẳng

: 2 2 d y x   cắt   m C tại ba điểm phân biệt   1;0 , , A B C  sao cho MBC  là tam giác đều.

Bài II. (5 điểm)

1) Giải phương trình 2 2 22 29 2 2 2 3 x x x x      

2) Giải hệ phương trình        

 

3 3 2 2 2 2

4 4 2 2 6 6

8 8 8 8 9 16

x y y x x x y y

x y x y xy x y

               

Bài III. (3 điểm)

Cho dãy số   n u xác định bởi

2

1 1 1 1 3 , ; 1,2,3... 3

n n n

u u u n u     

1) Chứng minh rằng   nu là dãy số bị chặn.

2) Chứng minh

2020

1 2 2019

1 1 1 .... 2 u u u     .

Bài IV. (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I với , (1; 1) M N  lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng , . IA CD Biết điểm B có hoành độ dương và đường thẳng MB có phương trình

3 6 0, x y    tìm tọa độ điểm . C

2) Cho hình chóp .S ABC có 2, 2 CA CB AB    , mặt bên ABC là tam giác đều nằm trong mặt

phẳng vuông góc với mặt phẳng   ABC . Gọi D là chân đường phân giác trong góc C của tam giác

SBC . a. Tính thể tích khối chóp . D ABC . b. Gọi M là điểm sao cho các góc tạo bởi các mặt phẳng     , , MAB MBC MCA với mặt phẳng   ABC

bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4 MA MB MS MC    .

Bài V. (2 điểm) Xét các số thực dương , , a b c thỏa mãn + + = 3 a b c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

= + + − − − 3 3 3 3 3 3 P a b c a b c .

----- HẾT -----