Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2018 2019 sở Bến Tre

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể phát đề) Câu 1 (5 điểm)

Giả sử α, β là các nghiệm thực của phương trình 4 4 1 = 0 ( ∈ ) và

[
; ] là tập xác định của hàm số ( ) =

.

a) Đặt ( ) = ( ) ( ). Tìm ( ) theo t.

b) Chứng minh rằng: Với , , ∈!0;

"

#, nếu $ + $ + $ = 1

thì

&( '()*) +

&( '() ) +

&( '()+) <

√.

/ .

Câu 2 (5 điểm)

Cho tam giác ABC có 01 = 603, 04 > 06. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF (7 ∈06, 8 ∈04). Trên các

cạnh BH, HF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho 49 = 6:. Tính giá trị của

;< =<

>< .

Câu 3 (5 điểm)

Dịp hè năm học 2017 – 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n (n là số

nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mỗi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học

sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại. Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấy

rằng: với 2 học sinh bất kỳ có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng

một ngày.

a) Khi = 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Giải thích.

b) Chứng minh rằng là số lẻ.

Câu 4 (5 điểm)

Xác định tất cả các hàm : → Bà : → thỏa mãn đồng thời các điều

kiện:

(1) Với mọi , D ∈ : 2 ( ) ( ) = (D) D;

(2) Với mọi ∈ : ( ). ( ) ≥ + 1.

HẾT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE

HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn: TOÁN

+ Hướng dẫn chung: (nếu có) ……………………………………………………………………………………………………… Câu Nội dung Điểm Ghi

chú

1

Giải sử α, β là các nghiệm thực của phương trình 4 4 1 =

0 ( ∈ ) và [
; ] là tập xác định của hàm số ( ) =

.

a) Đặt ( ) = ( ) ( ). Tìm ( ) theo t. b) Chứng minh rằng: Với , , ∈!0;

"

#,

nếu $ + $ + $ = 1 thì

&( '()*) +

&( '() ) +

&( '()+) <

√.

/ .

5

1a) Đặt 1 2 x x      khi đó 2 2 1 1 2 2 4 4 1 0,4 4 1 0 x tx x tx    

Do đó: 2 2 1 1 1 2 4( ) 4 ( ) 2 0 x x t x x       1 2 1 2

1 2 ( ) 0 2 x x t x x    

1

Vì   2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1

( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 1 ( 1)( 1) x x t x x x x x t x t f x f x x x x x              

Và 2 1 1 2 2 1 1 2

1 ( ) 2 2 ( ) 2 0 2 t x x x x t x x x x        

vì vậy 2 1 ( ) ( ) 0 f x f x   nên ( ) f x là một hàm tăng trên   ; 

1

Vì t    và 1 4   

2 2

2 2

2 2

5 1( ) 8 1(2 5) 2 ( ) axf(x)-minf(x)=f( )-f( )= 25 16 25 16

t t t t g t m t t  

       

1

1b)

2

2

2

8 2 16 ( 3) 24cosu cosu cos cosu (tan ) 16 16 9cos 9 cos

i i i i i

i

i

u g u u u

     

1

2 2 2 16.24 16 6 (tan ) ( 1,2,3) 16 9cos 16 9cos i

i i g u i u u     

Vì thế

3 3 3 2 2

1 1 1

1 1 1 (16 9 os ) (16.3 9.3 9 sin ) (tan ) 16 6 16 6 i i i i i i

c u u g u           

Vì

3

1

sin 1 i i

u



  với (0; ), 1,2,3 2 iu i    ta có

3 3 2 2

1 1 3 sin ( sin ) 1 i i i i u u

     

Vì vậy

1 2 3

1 1 1 1 1 3 (75 9. ) 6 (tan ) (tan ) (tan ) 3 4 16 6 g u g u g u     

1

2

Cho tam giác ABC có 01 = 603, 04 > 06. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF (7 ∈06, 8 ∈04). Trên các cạnh BH, HF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho 49 = 6:. Tính giá trị của

;< =<

>< .

5

Trên đoạn BE lấy điểm K sao cho: BK = CH Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên 4G6 H = 201 = 1203. Ta có 4I6 H = 1803 01 = 1203 nên 4I6 H = 4G6 H suy ra bốn điểm B, C, O, H cùng thuộc một đường tròn → G4I H = G6I H.

2

Xét 2 tam giác BOK và COH có OB = OC, BK = CH và G4I H = G6I H nên 4GK = 6GI suy ra 4GK H = 6GI H Bà GK = GI Ta có KGI H = 4G6 H = 1203, GKI H = GIK H = 303

2

Áp dụng định lý sin cho tam giác OKH, ta có KI = √3GI

Ta có

;< =<

>< =

;< L;

>< =

L<

>< = √3. 1

3

Dịp hè năm học 2017 – 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n (n là số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mỗi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại. Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấy rằng: với 2 học sinh bất kỳ …