Đề thi học sinh giỏi Toán năm 2020 sở Cao Bằng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN

CAO BẰNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI

(Đề gồm: 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm).

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

3 3 2

3

6 13 10

. 2 2019 2020 3

x y x x y

x x x y

            

Câu 2 (4,0 điểm).

Cho dãy số   n u xác định bởi:

1 2

2 1

1; 9 . 10 , 1 n n n

u u

u u u n  

       

a) Tính giá trị của 2 2 1 . . n n n A u u u    

b) Chứng minh rằng 2 6 2 n u  là số chính phương.

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương bất kì, luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3.

b) Chứng minh rằng trong 13 ước nguyên dương của 2019 6 , luôn tồn tại 3 số có tích là lập phương của một số tự nhiên.

Câu 4 (4,0 điểm).

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trung điểm các cạnh AC, AB lần lượt là M và N. Đường thẳng đi qua A lần lượt vuông góc với AC, AB cắt đường thẳng BC tại X và Y. Gọi XM AB P   , . YN AC Q   Chứng minh rằng O, P, Q thẳng hàng.

Câu 5 (4,0 điểm).

Tìm tất cả các hàm số : f    thỏa mãn điều kiện:

   

2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) f x y x yf x f y     , , . x y  

---------- HẾT ----------

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ……………................

Họ tên, chữ ký của giám thị: ……………………………………………………………….................