Bài tập có đáp án chi tiết về phương trình bậc cao môn toán của thầy lê văn huy

Hướng dẫn giải phương trình bậc

cao

Tác giả: Lê Văn Huy

1 Phương trình bậc nhất ax + b = 0 với a ̸= 0

Cách Giải:

Sửdụng quy tắc chuyển vếvà quy tắc nhân với một số:

ax + b = 0 ⇔ax = −b

⇔x = −b

a Ví Dụ: Giải các phương trình sau:

a.3x −9 = 0 ⇔3x = 9 ⇔x = 3

b. (1 + 2i) x = (3 + i)

⇔x = 3 + i

1 + 2i

⇔x = (3 + i) (1 −2i)

(1 + 2i) (1 −2i)

⇔x = 1 + 7i

5

2 phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0 với (a ̸= 0)

2.1 Cách Giải:

Chia cả2 vếcho a :

ax2 + bx + c = 0

⇔x2 + b

ax + c

a = 0

1

⇔x2 + b

ax = −c

a

⇔x2 + b

ax + b

2a

2 = b

2a

2 −c

a

⇔ x + b

2a

2 = b2 −4ac

4a 2

* Đặt ∆= b2 −4ac

Khi đó:

+ Nếu ∆= 0 thì ta có: x + b

2a

2 = 0 ⇔x = −b

2a + Nếu ∆> 0 thì ta có: x + b

2a

2 = ∆

4a2

⇔



 x + b

2a =

√

∆ 2a

x + b

2a = −

√

∆ 2a

⇔



 x = −b + √

−∆ 2a

x = −b − √

−∆ 2a + Nếu ∆< 0 thì Phương trình Vô Nghiệm trên tập sốthực R

Đối với tập sốphức C với ∆< 0 ta có: x + b

2a

2 = −∆

4a2

⇔ x + b

2a

2 −−∆

4a2 =0

⇔ x + b

2a + √

−∆i

2a

x + b

2a − √

−∆i

2a

= 0

⇔



 x = −b + √

−∆i 2a

x = −b − √

−∆i 2a

2

2.2 HệThức Viet

Định Lý:

Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ̸= 0) thì :

S = x1 + x2 = −b

a ; P = x1 ∗x2 = c

a Hệquả:

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0(a ̸= 0) có a + b + c = 0 thì phương trình

có nghiệm: x1 = 1 ; x2 = c

a Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0(a ̸= 0) có a −b + c = 0 thì phương trình

có nghiệm: x1 = −1; x2 = −c

a

2.3 Một SốVí Dụ

Bài 1: Giải các phương trình sau :

a.x2 −49x −50 = 0

C 1:dùng công thức nghiệm:

∆= (−49)2 −4.1. −50 = 2601 ⇒ √

∆= √

2601 = 51

Do ∆> 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = −(−49) −51

2 = −1; x2 = −(−49) + 51

2 = 50

C 2: Ứng dụng của định lý viet;

Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50 ) = 0

Nên phương trình có nghiệm: x1 = −1; x2 = −−50

1 = 50

b. x2 −2x + 1 = 0

C 1: Dùng công thức nghiệm

Ta xét ∆= 22 −4.1 = 4 −4 = 0 vậy phương trình có nghiệm kép là:

x = 1

C 2: Dùng hằng đẳng thức

x2 −2x + 1 = 0

3

⇔(x −1)2 = 0 ⇔x = 1

c.x2 + 2x + 3 = 0

Ta có:

∆= 22 −4.3 = −8

Phương trình vô nghiệm trên tập sốthực

Đối với sốphức ta áp dụng công thức nghiệm đã nêu ởlý thuyết

Nghiệm của phương trình là 

 x1 = 2 + √

8i 2

x1 = 2 − √

8i 2

⇔



x1 = 1 + √

2i

x2 = 1 − √

2i

3 Phương trình bậc Ba

3.1 Phương pháp cardano

Xét phương trình bậc 3 :

x3 + ax2 + bx + c = 0 (1)

Đặt y = x + a

3 ⇔x = y −a

3 phương trình này trởthành

y3 + py + q = 0 (2)

Đểgiải phương trình (2) ta đặt y = u + v thay vào (2) ta có:

(u + v)3 + p (u + v) + q = 0

⇔u3 + v3 + (u + v) (3 + p) + q = 0 (3)

4

Nếu tìm được u và v thỏa mãn hệ  

 u3 + v3 = −q (4)

3uv = −p (5)

thì u,v thỏa mãn (3) và y = u + v là nghiệm của (2)

Hệ(4),(5) tương đương với hệ  



u3 + v3 = −q (6)

(uv)3 = −p

27 (7)

Theo định lý viet ta có:

u3 và v3 là nghiệm của phương trình bậc hai:

t2 + qt −p3

27 = 0

Ta có:

u3 = −q ±

r

q2 + 4p3

27 2 , v3 = −q ∓

r

q2 + 4p3

27 2

Hay

u =

3

v u u u t−q ±

r

q2 + 4p3

27 2 , v =

3

v u u u t−q ∓

r

q2 + 4p3

27 2

Vì y = u + v nên ta được công thức nghiêm của của (1) là:

y =

3

v u u u t−q ±

r

q2 + 4p3

27 2 +

3

v u u u t−q ∓

r

q2 + 4p3

27 2

Công thức cardano

Nhận xét 1: Trên trường sốphức mỗi căn bậc 3 có ba giá trịtuy nhiên không

thểchọn u, v một cách tùy ý mà phải chọn u, v thỏa mãn (5). Ký hiệu:

5