Bài tập có đáp án chi tiết về hình học phẳng oxy của thầy lâm phong phần 2

FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY 1

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP HÌNH HOC PHẲNG OXY CHỦ ĐỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM.

BÀI TOÁN 1 (HÌNH THANG). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD (AB song song CD) có diện tích S ABCD = 14. Biết tọa độ các đỉnh A(0;1), B(2;0) và C(3;2). Tìm tọa độ đỉnh D ?

■ Đặt vấn đề : Do tọa độ của các điểm A, B, C khá là đẹp nên có một câu hỏi đặt ra là ta có nên « vẽ hình kèm hệ trục tọa độ « vào không ? hay là chỉ cần vẽ phác thảo hình thang ABCD ? Cuối bài này bạn sẽ có câu trả lời.

■ CÁCH 1: giải theo cách không gắn với hệ trục tọa độ (chỉ phác thảo hình)

☺Nhận xét : Điểm D là điểm cần tìm, nếu đặt tọa độ D(x D ; y D)  thiết lập 2 PT 2 ẩn và giải tìm (x D ; y D) thì có vội vàng không ? Trong khi nguyên tắc chung là nếu có thể giảm được ẩn của điểm thì ta nên thực hiện trước. Vậy câu hỏi đặt ra là điểm D có đang thuộc đường thẳng nào không để ta thực hiện tham số hóa theo đường thẳng đó ?  Đó chính là đường thẳng CD (Vì nhận thấy CD qua C(3;2) và song song AB).

Còn dữ kiện S ABCD = 14 cho ta được điều gì ?  S hình thang = S ABCD = 1

2AH(AB + CD)

☻Ý tưởng: Từ công thức diện tích ta thấy ngay CD là độ dài cần tính  liên quan đến D . Vậy trước hết ta cần tính AH = ?  Rõ ràng AH là đường cao của hình thang (nhưng ngoài ra AH cũng chính là khoảng cách từ A đến đường CD  AH = d(A; CD)). Từ đây ta có sơ đồ tư duy sau:

FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY 2

? (?;?) 1 ? ( ) AH ? d[A;CD] ? 2 ABCD

D CD pt CD D

CD S AH AB CD pt CD

            

► Hướng dẫn giải cách 1:

* Ta có CD qua C(3 ; 2) và nhận AB = (2; -1) làm véctơ chỉ phương (VTCP) nên có dạng:

3 2 : 2 7 0 2 1 x y CD x y         và D  CD  D(7 - 2d; d)

* Vẽ AH  CD tại H, ta có AH =

2 2 | 0 2 7 | [ ; ] 5 1 2 d A CD     

và 5 AB 

* Lại có 1 23 ( ) 2 5 ABCD S AH AB CD CD     và (4 2 ; 2) CD d d   

* 2 2 2 2 23 529 529 529 (4 2 ) ( 2) ( 2) 25 5 25 5 CD CD d d d           

1

2

33 31 33 23 ; 2 5 5 5 5

23 13 61 13 2 ; 5 5 5 5

d D d

d d D

                                    

* Xét 2 CD = 

 46

5 ; -23

5 

 

và AB = (2; -1)

 2 CD = 23

5 AB (vô lý vì AB, 2 CD cùng phương, ngược hướng)  Loại điểm D 2

* Xét 1 CD = 

 -46

5 ; 23

5 

 

và AB = (2; -1)

 1 CD = - 23

5 AB (thỏa yêu cầu bài toán)  Nhận điểm D 1.

Vậy điểm D thỏa yêu cầu bài toán là D 

 -31

5 ; 33

5 

 

■ CÁCH 2: Ta vẽ hình kèm hệ trục tọa độ:

FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY 3

☺Nhận xét : Khi vừa vẽ hình xong, ta thấy ngay AB  BC (việc chứng minh không quá khó, ta chỉ

cần xét AB. BC  0). Nếu vậy lúc này công thức tính diện tích ABCD sẽ là:

S ABCD = 1

2 BC(AB + CD)

và khi đó ta dễ dàng suy ra được CD = 23

5

☻Ý tưởng: Tuy vậy vấn đề đặt ra là ta có nên quay lại cách 1 với nhận xét này ? Câu trả lời là ta đã

phát hiện AB // CD nên ta có: 23

5 CD

AB   CD = 23AB 5   Đến đây là mọi chuyện xem như được

giải quyết. Mời các em xem lời giải !

► Hướng dẫn giải cách 2:

* Ta có: AB = (2; -1) và BC = (1; -2). Xét AB. BC = 2 - 2 = 0  AB  BC

 Hình thang ABCD vuông tại B và C. Và ta có AB = BC = 5.

* Mặt khác, S ABCD = 1

2 BC(AB + CD)  CD = 23

5

* Xét 23

5 CD

AB   CD = 23AB 5  (Do CD vàABngược hướng nhau)

23 31 3 .(2) 31 33 5 5 ; 23 33 5 5 2 .( 1) 5 5

D D

D D

x x

D y y

                                 

Vậy điểm D thỏa yêu cầu bài toán là D 

 -31

5 ; 33

5 

 

■ Lời bình: thông qua việc giải bài toán trên ta thấy được một số ưu điểm của kỹ thuật “ chuyển đẳng thức độ dài về đẳng thức véctơ ” điển hình như lời giải gọn nhẹ và không phải thử lại để loại một số trường hợp phát sinh. Đặc biệt việc biết kết hợp lồng hệ trục tọa độ vào trong hình vẽ đôi khi cho ta những nhận xét hữu ích. Và nếu giả sử bài toán trên với cách giải 2, một số em không chuyển đẳng

thức CD = 23

5 AB  CD = - 23

5 ABthì cũng rất may mắn vì đã có hệ tọa độ ở trên, bạn có thể đưa hai

điểm D 1 và D 2 lên hệ …