Bài tập có đáp án chi tiết về phương trình và bất phương trình trong đề thi đại học môn toán của thầy phạm văn tuyền

Các phương pháp tổng quát giải 2 câu điểm 8,9 của đề thi môn Toán GV: Phạm văn Tuyền

Nhận gia sư theo nhóm tại Hà Nội 1 0923.544.333

Lời nói đầu Trong đề thi Đại học môn Toán, và giờ là đề thi THPT Quốc Gia có rất nhiều em học sinh đều bỏ đi 3 câu: Câu điểm 8 (Hình Oxy), câu điểm 9 (Phương trình, bất phương trình vô tỷ, hệ phương trình) và Câu điểm 10 (Bất đẳng thức, Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất). Lí do chính mà các em khó học các bài này là gì ? Đó là vì thường chúng có quá nhiều phương pháp, thậm chí một số phương pháp rất khó để học sinh ở mức trung bình tiếp thu được. Đứng trước các bài như vậy, với nhiều học sinh khá, giỏi cũng phải mất khá nhiều thời gian để tìm ra được lời giải, có khi không thể giải được. Chính vì vậy để giúp các em học sinh có thể kiếm được điểm ở 2 câu điểm 8, 9 mà không mất nhiều thời gian học anh sẽ phân tích ở mỗi loại 1 hướng đi tổng quát có thể giải gần như mọi bài, và cách làm của nó cũng rất đơn giản để mọi em học sinh đều có thể áp dụng được (hiện tại anh cũng đang nghiên cứu tìm hiểu để có thể tổng quát hóa câu điểm 10 ). Trong các cách làm được trình bày ở đây, thì hướng giải phương trình, bất phương trình cũng không còn mới mẻ với rất nhiều học sinh nhưng anh cũng xin xin trình bày lại để giúp các em học sinh chưa biết có thể tiếp cận. Và cũng xin nhấn mạnh rằng đây chỉ là những phương pháp tổng quát để giúp học sinh dễ áp dụng chứ không phải là những cách hay, sáng tạo để giải các câu khó này, vì vậy nếu như câu nào có thể làm được bằng phương pháp khác hay hơn thì các em cũng không nên áp dụng các hướng đi này. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1. Phương pháp liên hợp (Áp dụng cho mọi bài nếu nhẩm được nghiệm bằng máy tính)

Bước 1: Dùng máy tính Casio, Vinacal ( hoặc thay trực tiếp) nhẩm được nghiệm x=xo, x=x1 (Dùng chức năng SOLVE ra 1 nghiệm, rồi “ SHIFT SOLVE 100 = “, tiếp “SHIFT SOLVE -100 = “ để ra các nghiệm khác nếu còn. Sau khi ra 1 nghiệm để lưu lại ấn “ AC ALPHA X SHIFT STO A,B,C,” Bước 2: Thêm bớt rồi nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử chung x-xo nếu nhẩm được 1 nghiệm hoặc (x-xo) (x-x1) nếu nhẩm được 2 nghiệm. Các biểu thức liên hợp:

√ – b =

√ ; √ + b =

√ ; √

- b =

√ √ ;

√

+ b =

√ √ ; √

-b =

√ √ √

VD1 (Khối B -2010): Giải phương trình: √3 + 1 −√6 − + 3 −14 −8 = 0 (1) Phân tích: Dùng máy tính (1) có nghiệm duy nhất x =5 Với x = 5 thì √3 + 1 = 4, √6 − = 1 Giải: Điều kiện: -

≤ ≤6

(1) ↔ (√3 + 1 −4) − √6 − −1 + 3 −14 −5 = 0

↔

√ ! −

√ + 3" −5) # +

$ = 0

↔ (x – 5 ) [

√ ! +

√ + 3 + 1 ] = 0

↔ % = 5

√ ! +

√ + 3 + 1 = 0 "2)'

Vì

√ ! +

√ + 3 + 1 > 0 ∀ ∈[-

, 6] nên (2) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5

Các phương pháp tổng quát giải 2 câu điểm 8,9 của đề thi môn Toán GV: Phạm văn Tuyền

Nhận gia sư theo nhóm tại Hà Nội 2 0923.544.333

VD2: Giải phương trình: √3 + 2

+x√3 −2 = 2√2 + 1 (1) Phân tích: Dùng máy tính (1) có nghiệm duy nhất x=2 Giải: Điều kiện: x ≥

(1) ↔ (√3 + 2

- 2) + x(√3 −2 - 2) – 2 (√2 + 1 –x-1 ) =0

↔ -

." ) √ ! + !

√ - 2 " )

√ =0

↔ (x-2)[

." ) √ ! +

√ –

√ ]=0

↔/ = 2"0ℎỏ 2ã3)

." ) √ ! +

√ –

√ = 0"2)'

Với x ≥

xét (2):

√ –

√ > 0

↔ 3(√2 + 1 + + 1) −2 √3 −2 + 2 > 0 ↔ (3√2 + 1 −2√3 −2) + (3x-1) > 0

↔ - 5

√ √ + (3x – 1) > 0 ↔ -" 6 ) 7

√ √ + (3x – 1) > 0 (luôn đúng)

Do đó (2) vô nghiệm. (Ở bước này nếu các em không thể chứng minh phương trình vô nghiệm thì thử thay 1 số bất kì bằng máy tính để biết vết trái >0 , sau đó ghi là vế trái >0 ∀ x ≥

, làm như vậy thì bài làm chỉ bị trừ 0.25đ ) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2 VD3: Giải phương trình: √3 + 1 + √5 + 4 = 3 − + 3 (1) Phân tích: Nghiệm x=0; x=1

Xét [√3 + 1 - (ax+b)] . Thay x=0 và x=1 ta được hệ 8 1 −9 = 0 2 − −9 = 0 ' ↔ 8 = 1 9 = 1 '

Xét [√5 + 4 −": + ;)]. Thay x=0 và x=1 ta được hệ 8 2 −; = 0 3 −: −; = 0 ' ↔ 8: = 1 ; = 2 '

Giải: Điều kiện: x ≥ - !

7

(1)↔ [√3 + 1 - (x+1) ] + [√5 + 4 −" + 2)] -3( − ) =0

↔

√ " ) +

√7 ! " ) −3( − ) =0

↔< − = 0

√ " ) +

√7 ! " ) + 3 = 0 "Vế trái > 0, ∀ x ≥− 4

5) ' ↔ C = 0 = 1 '

Vậy phương trình có 2 …