Bài tập có đáp án chi tiết về nhị thức niu tơn

Các bài tóan có liên quan đến nhị thưcù N ewTon.

1.Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển ( ) 2 1 n x + bằng 1024.Tìm hệ số a của số

hạng 12 x trong khai triển đó?

Giải

( ) 2 2

0 1

n n k k n k x C x

= + =∑ = 0 1 2 2 4 2 ... n n n n n n C C x C x C x + + + +

Tổng tất cả các hệ số của khai triển là:

( ) 0 1 ... 1 1 n n n n n C C C + + + = + = 2 1024 n = 10 n ⇒ =

Hệ số của 12 x 6 k ⇒ =

Vậy hệ số là: 6 10 210 C =

2.Trong khai triển nhị thức

28 3 15

n x x x − ⎛ + ⎜ ⎝ ⎠

⎞ ⎟

9

,hãy tìm số hạng không phụ thuộc x,biết

(1) 1 2 79 n n n n n n C C C − − + + =

Giải (1) 1 2 1 7 n n n n C C − − ⇔+ + =

1 1 78 n n C − + ⇔ =

( ) ( )

1 ! 78 1 !2! n n + ⇔ = −

( ) ( ) ( ) 1 ! 1 156 1 ! n n n n − + ⇔ = −

2 156 0 n n ⇔ + − =

13 0( ) 12 n lọai n = − < ⎡ ⇔⎢= ⎣

( ) 12 28 28 4 12 12 3 15 15 3 12 . k k k

k o x x x C x x − −

=

⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑

−

=

112 16 12 5 5 12 0

k k

k C x − +

=∑

Số hạng không phụ thuộc x 112 16 0 5 5 k ⇔− + = 7 k ⇔ =

Vậy số hạng không phụ thuộc x là: 7 12 792 C =

3.Tìm số hạng không chứa x của khai triển

17

3 4 3 2 1 x x

⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

, 0 x ≠

Giải

17

3 4 3 2 1 x x

⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

=

( ) 2 3 17 17 3 4 17 0 . k k k

k C x x − −

=∑

=

34 17 17 3 12 17 0

k k

k C x − +

=∑

số hạng không chứa x 34 17 0 3 12 k ⇔− + = 8 k ⇔ =

Vậy số hạng không chứa x là: 8 17 24310 C =

4.Tìm hệ số của x10 trong khai triển

5

3 2 2 3 , x x x ⎛ ⎞ 0 − ≠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Giải

5

3 2 2 3x x ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

= ( ) ( )

5 5 3 2 5 0 3 2 k k k

k C x x − −

= − ∑

=

5 5 15 5 5 0 3 .( 2) k k k k

k C x − −

= − ∑

5 10 1 k k − = ⇔ =

1 4 5.3 ( 2) 810 − = − x10 nên 15 Vậy hệ số của x10 là C

5.Tìm hệ số của x2 trong khai triển

10 3 1 1 , x x x ⎛ ⎞ 0 + + ≠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Giải

10 3 1 1 x x ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

=

10 3 10 0

1 k k

k C x x =

⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑

= ( ) 10 3 10 0 0 .

k k i k i k k i C C x x − −

= = ∑ ∑

i

i

0

=

10 4 10 0 0

k k i k k k i C C x−+

= = ∑ ∑

x2 nên 4 2 4 2 k i k i −+ = ⇔ = − mà 0 1 k ≤ ≤ 0 4 2 10 i ⇔ ≤ − ≤ 1 3 2 i ⇔ ≤≤ ,i ∈`

{ } 1;2;3 i ⇒=

1 2 i k = ⇒ = i 2 6 i k = ⇒ = i 3 1 i k = ⇒ = i 0 Vậy hệ số của x2 là: 2 1 6 2 10 3 10 2 10 6 10 10 3360 C C C C C C + + =

6.CMR: ( ) 0 2 2 4 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 3 ... 3 2 2 1 n n n n n n n n C C C C − + + + + = +

= 2 1 2 2 1 4 1 2 1 2 .2 2 2 2 n n n n n − − − + = + −

2

Giải Ñaët A= 0 2 2 4 4 2 2 2 2 2 3 3 ... 3 n n n n n n C C C C + + + +

Ta có:

( )

2 2 2 0 1

n n k k n k x C x

= + = ∑

= 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ... n n n n n n C C x C x C x + + + +

3: x = i (1+3)2n= 0 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 ... 3 n n n n n n C C C C + + + + 2

= 2 4 n ⇒ A+B (1) 3: x = − i

2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 3) 3 ... 3 n n n n n n n C C C x C − = − + − +

2 ( 2) n ⇒− = A – B (2)

(1)&(2)⇒2A= 2 2 4 ( 2) n n + −

⇒ A=

2 2 4 2 4 1 2 1 4 ( 2) 2 2 2 2 2 2

n n n n n n − − + − + = = +

1 n−

n n

1 n x −

n n nC

⇒ đpcm 7.CMR: 1 1 2 2 3 3 3 2. 3 3. 3 ... .4 n n n n n n n n C C C nC n − − − + + + + =

Giải Trong ñoù n laø soá töï nhieân lôùn hôn hay baèng 1. Ñaët f(x)=(3+x)n

Ta có: (3+x)n =

0 3

n k n k k n k C x −

=∑

= 0 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 ... n n n n n n n n C C x C x C x C x − − − + + + + +

f’(x) =n(3+x)n-1

= 1 1 2 2 3 3 2 3 2. 3 3. 3 ... n n n n n n n n C C x C x nC − − − + + + +

f’(1)= 1 .4n n −

= 1 1 2 2 3 3 3 2. 3 3. 3 ... n n n n n n C C C − − − + + + +

⇒đpcm