Bài tập về hình học giải tích trong mặt phẳng môn toán hình học lớp 10

Chuyên đề 14: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ

91

I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng :

• x'Ox : trục hoành • y'Oy : trục tung • O : gốc toạ độ • : véc tơ đơn vị ( 1 2 , e e JG JJG

1 2 1 1 và e e e e = = ⊥ JG JJG JG G

2 JJ

)

x

y

1eK

2eK

O 'x

'y Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy được gọi là mặt phẳng Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy) II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: 1. Định nghĩa 1: Cho ( ) M mp Oxy ∈ . Khi đó véc tơ OM

JJJJG

được biểu diển một cách duy nhất theo

e e bởi hệ thức có dạng : OM 1 2 , JG JJG xe ye 1 2 với x,y J

= + ∈ JJJG JG JJG \ .

Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M. Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M )

'x

y

2 K

' /

1 2 ( ; ) đ n M x y OM xe ye ⇔ = + JJJJG JG JJG

• Ý nghĩa hình học: và y=OQ x OP = 2. Định nghĩa 2: Cho a m ( ) p Oxy ∈ G

. Khi đó véc tơ a

G

được biểu diển một cách duy nhất theo

e e bởi hệ thức có dạng : 1 2 , JG JJG

1 1 2 2 1 2 với a ,a a a e a e = + ∈ G JG JJG \ .

Cặp số (a1;a2) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ . a G

Ký hiệu: 1 2 ( ; ) a a a = G

/

1 2 1 1 2 2 =(a ;a ) đ n a a a ⇔ = + G G G e a e JG JJ

• Ý nghĩa hình học:

1 1 1 2 2 2 và a =A a A B B =

x 1eK e

O

M Q

P

y

y

x O x'

'y

M Q

P x

y

x

y

1eK

2eK

O 'x

'y

P

aG

y

x O 'x

'y

1A 1B

2A

2 B B K

A H

BÀI TẬP ÁP DỤNG: Trong mặt phẳng Oxy hãy vẽ các điểm sau: A(2;3), B(-1;4), C(-3;-3), D(4;-2), E(2;0), F(0;-4) III. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :

Định lý 1: Nếu B ( ; ) và B(x ; ) A A B A x y y thì

92

( ; ) B A B A AB x x y y = − − JJJG

Định lý 2: Nếu a a thì 1 2 1 2 ( ; ) và ( ; ) a b b b = = G G

* a b 1 1

2 2

a b

a b

= ⎧ = ⇔⎨ = ⎩

G G

* a b 1 1 2 2 ( ; ) a b a b + = + + G G

) a b a b − = − − G G

) ka ka = G * a b 1 1 2 2 ( ;

* k a ( ) 1 2 . ( ; k ∈\

BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho A(1;3), B(-2;-1), C(3;-4). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 2: Cho A(1;2), B(2;3), C(-1;-2). Tìm điểm M thoả mãn 0 2 2 = + − CB MB MA IV. Sự cùng phương của hai véc tơ: Nhắc lại

• Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song . • Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ: Định lý 3 : Cho hai véc tơ và với 0 a b b ≠ G G G G

a k b G G

a b cùng phương !k sao cho . ⇔∃ ∈ = G G \

Nếu 0 a ≠ G G

thì số k trong trường hợp này được xác định như sau: k > 0 khi a

G

cùng hướng b

G

k < 0 khi a

G

ngược hướng b

G

a k b =

G

G

Định lý 4 : , , thẳng hàng cùng phương A B C AB AC ⇔

JJJG JJJG

(Điều kiện 3 điểm thẳng hàng )

Định lý 5: Cho hai véc tơ 1 2 1 2 ( ; ) và ( ; ) a a a b b b = = G G

ta có :

a b 1 2 2 1 cùng phương a . . 0 b a b ⇔ − = G G

(Điều kiện cùng phương của 2 véc tơ

) ; ( A A y x A

) ; ( B B y x B

aK

b

K

aK

b K

A

B

C

aK

b

G

2 5 a b , b - a 5 2 = − = K K K K

aK

b K