Ebook phương pháp tọa độ trong mặt phẳng của thầy trần thành minh, phan lưu biên và trần quang nghĩa

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

2

§ 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng A. Tóm tắt giáo khoa . 1. Vectơ n G khác 0 G vuông góc đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của ∆ . • Phương trình của đường thẳng qua M0( x0 ; y0 ) và có VTPT n G = (a ; b) là : a(x – x0) + b(y – y0) • Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng : ax + by + c = 0 trong đó n G = (a ; b) là một VTPT . • ∆ vuông góc Ox Ù ∆ : ax + c = 0 ∆ vuông góc Oy Ù ∆ : by + c = 0 ∆ qua gốc O Ù ∆ : ax + by = 0

∆ qua A(a ; 0) và B(0 ; b) Ù ∆ : x y 1 a b + = ( Phương

trình theo đọan chắn ) • Phương trình đường thẳng có hệ số góc là k : y = kx + m với k = tanφ , φ là góc hợp bởi tia Mt của ∆ ở phía trên Ox và tia Mx 2. Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2 : a2x + b2y + c 2 = 0 Tính D = a1 b 2 – a2 b1, Dx = b1 c 2 – b2 c1 , Dy = c 1 a 2 – c2 a1 • ∆1 , ∆2 cắt nhau Ù D ≠ 0 . Khi đó tọa độ giao điểm là :

x

y

D x D D y D

⎧ = ⎪⎪⎨ ⎪= ⎪⎩

• ∆1 // ∆2 Ù x

y

D 0

D 0

D 0

= ⎧ ⎪ ≠ ⎡ ⎨⎢ ⎪ ≠ ⎣ ⎩

• ∆1 , ∆2 trùng nhau Ù D = Dx = Dy = 0

Ghi chú : Nếu a2, b2 , c2 ≠ 0 thì :

• ∆1 , ∆2 cắt nhau Ù Ù

2

1

2

1 b b a a ≠ .

n G

a G

∆

φ

M

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

3

• ∆1 // ∆2 Ù

2

1

2

1

2

1 c c b b a a ≠ =

• ∆1 , ∆2 trùng nhau Ù

2

1

2

1

2

1 c c b b a a = =

B. Giải tóan . Dạng tóan 1 : Lập phương trình tổng quát của đường thẳng : Cần nhớ : • Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và vuông góc n G = (a; b) là : a(x – x0 ) + b(y – y0) = 0 • Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và cùng phương

) a ; a( a 2 1 = là :

2

o

1

o a y y a x x − = −

• Phương trình đường thẳng song song đường thẳng : ax + by + c = 0 có dạng : ax + by + m = 0 với m ≠ c . • Phương trình đường thẳng qua M(x0 ; y0 ) : a(x – x0 ) + b(y – y0) = 0 ( a2 + b2 ≠ 0 )

• Phương trình đường thẳng qua A(a ; 0) và B(0 ; b) là : x y 1 a b + =

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có A(3 ; 2) , B(1 ; 1) và C(- 1; 4) . Viết phương trình tổng quát của : a) đường cao AH và đường thẳng BC . b) trung trực của AB c) đường trung bình ứng với AC d) đuờng phân giác trong của góc A .

Giải a) Đường cao AH qua A(3 ; 2) và vuông góc BC JJJG = (- 2 ; 3) có phương trình là : - 2( x – 3) + 3(y – 2) = 0 Ù - 2x + 3y = 0 Đường thẳng BC là tập hợp những điểm M(x ; y) sao cho )1 y ;1 x ( BM − − =

cùng phương ) 3;2 ( BC − = nên có phương trình là : x 1 y 1 2 3 − − = − ( điều kiện cùng

phương của hai vectơ) Ù 3(x – 1) + 2(y – 1) = 0 Ù 3x + 2y – 5 = 0 b) Trung trực AB qua trung điểm I( 2 ; 3/2 ) của AB và vuông góc AB JJJG = (- 2 ; - 1) nên có phương trình tổng quát là : 2(x – 2) + 1.(y – 3/2) = 0 Ù 4x + 2y – 11 = 0

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

4

c) Đường trung bình ứng với AB qua trung điểm K( 0 ; 5/2) và cùng phương AB JJJG = (- 2 ; - 1) . Đường này là tập hợp những điểm M(x ; y) sao cho

) 2 5 y ;0 x ( KM − − = cùng phương )1 ;2 ( AB − − = nên có phương trình là :

x 0 y 5/ 2 2 1 − − = ( điều kiện cùng phương của hai vectơ)

Ù x – 2y + 5 = 0

d) Gọi D(x ; y) là tọa độ của chân đường phân giác trong . Theo tính chất của

phân giác : DB AB AC DC = −

JJJG JJJG

Mà AB = 2 2 2 2 2 1 5,AC 4 2 2 5 + = = + = , do đó :

DB 1 2DC DC 2 DC = − <=> = −

JJJG JJJJJG JJJG JJJG

Ù 2(1 x) x 1 x 1/3 2(1 y) y 4 y 2 − = + = ⎧ ⎧ <=> ⎨ ⎨ − = − = ⎩ ⎩

Vậy D = (1/3 ; 2) . Vì yA = yD = 2 nên phương trình AD là y = 2 . Ví dụ 2 : Cho hình chữ nhật ABCD , phương trình của AB : 2x – y + 5 = 0 , đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I( 4 ; 5 ) . Viết phương trình các cạnh còn lại Giải Vì AD vuông góc với AB nên VTPT n G = (2 ; - 1) của AB là VTCP của AD

Phương trình AD qua O là : x y 2 1 = −Ù x + 2y = 0

Tọa độ A là nghiệm của hệ : 2x y 5 0 x 2y 0 − + = ⎧ ⎨+ = ⎩

Giải hệ này ta được : x = - 2 ; y = 1 => A(- 2 ; 1) I là trung điểm của AC , suy ra :

A C I C

A C I C

x x 2x 8 x 10

y y 2y 10 y 9

+ = = = ⎧ ⎧ <=> ⎨ ⎨ + = = = ⎩ ⎩ : C(10 ; 9)

Đường thẳng CD song song với AB nên n G = (2 ; - 1)

cũng là VTPT của CD . CD qua C(10 ; 9) , do đó phương trình CD là :

2(x – 10) - (y …