Bài tập có đáp án chi tiết về tọa độ trong mặt phẳng môn toán lớp 10

CHUYÊN ĐỀ 1

TỌA ĐỘ PHẲNG

Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng.

Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây:

Cho ar = ( ) 1 2 a , a , b r = ( ) 1 2 b , b ta có:

ar = b r ⇔ 1

2

1

2

a = b

a = b ⎧ ⎨ ⎩

ar + b r = ( 1 1 a + b , 2 2 a + b )

ar – b r = ( 1 1 a - b , 2 2 a - b )

kar = (k 1 a , k 2 a ) (k ∈ R)

α ar + β b r = (α 1 a + β 1 b , α 2 a + β 2 b )

ar . b

r

= 1 a 1 b + 2 a 2 b

. Với các quan hệ về độ dài ta có:

ar = ( 1 a , 2 a ) ⇒ ar = 2 2 1 2 a + a

( ) ( )

A A

B B

A x , y

B x , y

⎧⎪⎨ ⎪⎩ ⇒ AB uuur = ( B x – A x , B y – A y )

và AB = ( ) ( ) 2 2 B A B A x - x y - y +

. Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có:

ar ⊥ b r ⇔ 1 a 1 b + 2 a 2 b = 0

ar cùng phương b r ⇔

r r sin(a, b) = 0 ⇔ 1 a 2 b – 2 a 1 b = 0

⇔ 1

1

a b = 2

2

a b ( 1 b , 2 b ≠ 0)

A, B, C thẳng hàng ⇔ AB uuur cùng phương AC

uuur

⇔

B A B A

C A C A

x - x y - y

x - x y - y = 0

. Với việc tìm góc của hai vectơ ta có:

- Góc hình học tạo bởi hai vectơ ar , b

r

được suy từ công thức:

cos( a, b r r ) = 1 1 2 2 a b + a b

a . b r r (1)

- Số đo góc định hướng của hai vectơ ar , b

r

ngoài (1) còn được suy thêm từ một trong hai công thức:

r r sin(a, b) = 1 2 1 r r 2 a b - a b

a . b

r r tg(a, b) = 1 2 1

1 1 2

2

2

a b - a b a b + a b

Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây:

. M( M x , M y ) là trung điểm của đoạn thẳng AB

⇔ 2

2

A B M

A B M

x + x x =

y + y y =

⎧ ⎪⎪⎨ ⎪ ⎪⎩

. G( G x , G y ) là trọng tâm của ΔABC

⇔ 3

3

⎧ ⎪⎪⎨ ⎪ ⎪⎩

A B C G

A B C G

x + x + x x =

y + y + y y =

. I( Ix , Iy ) và J( J x , J y ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A

trong ΔABC thì:

IB IC

uur uur = −

uuur uuur JB JC = −AB

AC

. Với A( A x , A y ), B( B x , B y ), C( C x , C y ) thì diện tích tam giác ABC là:

S = 1 2 Δ với Δ =

B A B A

C A C A

x - x y - y

x - x y - y

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2).

a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B.

b) Tìm tọa độ điểm M để 2AM

uuuur + 3 BM

uuuur - 4CM

uuuur = 0

r

c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên Ox.

d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp Δ ABC.

e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng.

Giải

a) D là điểm đối xứng của A qua B

⇔ B là trung điểm của AD

⇔

A D B

A D B

x + x x = 2 y + y y = 2

⎧ ⎪⎪⎨ ⎪ ⎪⎩

⇔ ( ) ( )

− − − ⎧⎪⎨ − ⎪⎩

D B A

D B A

x = 2x x = 2 0 2 = 2

y = 2y y = 2 3 + 1 = 7 hay D(–2, 7)

b) Ta có: 2 AM uuuur + 3BM

uuuur – 4CM

uuuur = 0

r

= ( 0, 0 )

⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− − − − ⎧⎪⎨ − − − ⎪⎩

M M M

M M M

2 x 2 + 3 x 0 4 x 4 = 0

2 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0

⇔ − ⎧ ⎨ − ⎩

M

M

x = 12

y = 1 hay M(–12, –1)

c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox.

⇔ E y = 0

CE

⎧⎪⎨ ΑΒ ⎪⎩ uuur uuur // ⇔

E

E E

y = 0

x - 4 y - 2 = 0 - 2 3 + 1

⎧⎪⎨ ⎪⎩