Bài tập có đáp án chi tiết về tọa độ oxy môn toán hình học lớp 10

HœNH 2 TÅA Ë

B i 1. Tam giĂc ABC câ trỹc tƠm H(2; 1), A(−2; −1), BC = 2 √

5, trung iºm M cừa cÔnh BC thuởc d : x −2y −1 = 0. Tẳm A, B, C biát M câ tung ë dữỡng.

A

H

B

C

I

E D

Lới giÊi. Gồi I l tƠm ữớng trán ngoÔi tiáp tam giĂc ABC. iºm M thuởc ữớng th¯ng d nản

câ tồa ë M(2a + 1; a). Tứ −→ MI= 1

2

−→ HA câ I(2a −1, a −1). Ta câ

IA2 = IB2 = IM 2 + MB2 ⇔(2a + 1)2 + a2 = 5 + 5 = 10

⇔a = 1 ho°c a = −9

5.

Vẳ M câ tung ë dữỡng nản M(3; 1). ữớng th¯ng BC qua iºm M v nhên −→ AH= (4; 2) l m vectì phĂp tuyán nản câ phữỡng trẳnh BC : 2x + y −7 = 0.

iºm B thuởc BC nản B(b; 7 −2b). M l trung iºm BC nản C(6 −b; 2b −5).

MB2 = 5 ⇔(b −3)2 + (6 −2b)2 = 5 ⇔b = 2 ho°c b = 4.

Vêy B(2; 3), C(4; −1) ho°c C(2; 3), B(4; −1).

B i 2. Hẳnh vuổng ABCD câ E l trung iºm cừa AD, H 11

5 ; −2

5

l hẳnh chiáu vuổng gâc

cừa B trản CE, M 3

5; −6

5

l trung iºm cừa BH. Tẳm tồa ë cĂc iºm A, B, C, D biát A câ

ho nh ë Ơm.

Lới giÊi. Vẳ M l trung iºm cừa BH nản B(−1; −2).

Gồi F l trung iºm cừa BC. Ta câ AE ∥FC v AE = FC nản AECF l hẳnh bẳnh h nh. Do â AF ∥CE. Suy ra FA l ữớng trung bẳnh cừa tam giĂc BCE. Nản AF i qua M v do â AM ⊥BH.

1

A

B C

D

F

E

H

M

Ta câ AM : 2x + y = 0 , CE : 2x + y −4 = 0.

sin \ BCE = cos \ ECD = CD

CE = 2 √

5 ⇒CD = BH

sin \ BCE = 4.

A ∈AM nản A(a; −2a), a < 0.

AB = 4 ⇔(a + 1)2 + (2a −2)2 = 16

⇔5a2 −6a −11 = 0

⇔a = −1 ho°c a = 11

5 (loÔi).

Do â A(−1; 2). Ta câ BC : y = −2, C(3; −2). Tứ â câ D(3; 2).

B i 3. Tam giĂc ABC cƠn tÔi A(−1; 3), iºm D thuởc cÔnh AB sao cho AB = 3AD, H l hẳnh

chiáu vuổng gâc cừa B trản CD, M 1

2; −3

2

l trung iºm cừa CH, B thuởc d : x + y + 7 = 0.

Tẳm B, C.

A

M

D

H

C E

s

G t

Lới giÊi 1. Ta th§y, b i toĂn s³ ữủc giÊi quyát náu ta tẳm ữủc iºm B. GiÊ thiát ¢ cho iºm B thuởc ữớng th¯ng d nản ta s³ tẳm mởt mởt ữớng th¯ng núa i qua B. ữớng th¯ng ta cƯn tẳm phÊi liản quan án hai iºm ¢ biát A v M. Bơng trỹc giĂc ta câ thº ữa ra dỹ oĂn AM ⊥BM. Náu câ ữủc iãu n y thẳ ta viát ữủc ữớng th¯ng BM. Sau Ơy l mởt số cĂch chùng minh iãu â.

2

CĂch 1(Sỷ dửng vectì). Ta câ

4 −→ BM · −→ AM = 2 −→ BH + −→ BC −→ CM − −→ CA

= 2 −→ BH · −→ CM −2 −→ BH · −→ CA − −→ CB · −→ CH +2 −→ CA · −→ CB

= −2 −→ BH −→ BA − −→ BC −CH2 + (CA2 + CB2 −AB2)

= −3 −→ BH · −→ BD +2 −→ BH · −→ BC −CH2 + BC2

= −3BH2 + 2BH2 −CH2 + BC2 = BC2 −(BH2 + CH2) = 0.

Do â AM ⊥BM.

CĂch 2. Gồi J l giao iºm cừa CD vợi ữớng th¯ng qua A song song vợi BC. E l trung iºm cừa BC. Theo ành lỵ Thales ta câ

AJ BC = AD

BD = 1

2 ⇒AJ = 1

2BC = BE.

Do â AEBJ l hẳnh chú nhêt.

Ta câ tan \ HMB = BH

HM = 2 · BH

HC = 2 · tan \ HCB

= 2 · BJ

BC = BJ

AJ = tan [ BAJ ⇒\ HMB = [ BAJ.

Do â tự giĂc AJBM nởi tiáp nản \ AMB = [ AJB hay AM ⊥BM.

Lới giÊi 2. iºm B ∈d ⇒B(b, −b −7), −→ AD= 1

3

−→ AB⇒D b −2

3 , −b + 1

3

.

Ta câ −→ MD= 2b −7

6 , −2b −7

6

. Vẳ CD ≥AC = AB > BD ≥DH nản D khổng tròng M hay

b ̸= 7

2. ữớng th¯ng CD qua M v câ vectì ch¿ phữỡng −→ u = 6 2b −7· −→ MD= (1; −1) nản câ phữỡng

trẳnh CD : x + y + 1 = 0.

ữớng th¯ng BH qua B v vuổng gâc vợi CD nản câ phữỡng trẳnh

BH : x −y −7 −2b = 0.

H l giao iºm cừa CD vợi BH nản H (b + 3, −b −4). M l trung iºm cừa CH nản C(−b−2, b+1). Tam giĂc ABC cƠn tÔi A nản

AB2 = AC2 ⇔(b + 1)2 + (b + 10)2 = (b + 1)2 + (b −2)2

⇔b = −4.

Vêy B(−4; −3) v C(2; −3).

B i 4. Viát phữỡng trẳnh ữớng trán (C) cưt ữớng th¯ng d : x + y + 2 = 0 tÔi hai iºm A, B v cưt ữớng trán (S) : (x −2)2 + (y −1)2 = 5 tÔi hai iºm C, D sao cho A, B, C, D tÔo th nh bốn ¿nh cừa mởt hẳnh vuổng.

3