Bài tập về điểm và đường thẳng trong mặt phẳng lớp 12

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế 1

MỤC LỤC

Trang • Tóm tắt kiến thức 2 • Các bài toán về điểm và đường thẳng 4 • Các bài toán về tam giác 6 • Các bài toán về hình chữ nhật 13 • Các bài toán về hình thoi 16 • Các bài toán về hình vuông 17 • Các bài toán về hình thang, hình bình hành 19 • Các bài toán về đường tròn 21 • Các bài toán về ba đường conic 31

www.MATHVN.com

MATH.VN

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế 2

TÓM TẮT KIẾN THỨC

1. Phương trình đường thẳng

• đường thẳng đi qua điểm ( ) ; o o A x y và có VTCP ( ) ; u a b = có PTTS là = +  = + 

o

o

x x at

y y bt .

• đường thẳng đi qua điểm ( ) ; o o A x y và có VTPT ( ) =

; n a b có PTTQ là ( ) ( ) − + − = 0 o o a x x b y y .

• đường thẳng đi qua hai điểm ( ) ; A A A x y và ( ) ; B B B x y có phương trình: − − = − −

A A

B A B A

x x y y x x y y .

• đường thẳng đi qua hai điểm ( ) ;0 A a và ( ) 0; B b với ≠0 a và ≠0 b có phương trình: + =1 x y a b .

• đường thẳng song song hoặc trùng với Oy có phương trình là ( ) + = ≠ 0 0 ax c a .

• đường thẳng song song hoặc trùng với Ox có phương trình là ( ) + = ≠ 0 0 by c b .

• đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có phương trình là + = 0 ax by ( ) 2 2 0 a b + ≠ .

• nếu (d) vuông góc với + + = ( ') : 0 d ax by c thì (d) có phương trình là − + = 0 bx ay m . • nếu (d) song song với + + = ( ') : 0 d ax by c thì (d) có phương trình là ( ) + + = ≠ 0 ax by m m c .

• đường thẳng có hệ số góc k có phương trình là = + y kx b. • đường thẳng đi qua điểm ( ) ; o o A x y và có hệ số góc k có phương trình là ( ) − = − o o y y k x x .

• = + ( ) : d y kx b vuông góc với = + ⇔ = − ( ') : ' ' . ' 1 d y k x b k k . • = + ( ) : d y kx b song song với = + ⇒ = ( ') : ' ' ' d y k x b k k . 2. Khoảng cách và góc

• khoảng cách từ ( ) ; o o A x y đến ∆ + + = ( ) : 0 ax by c tính bởi công thức: ( ) + + ∆= + 2 2 , o o ax by c d A a b

• M, N ở cùng phía đối với đường thẳng ∆ + + = ( ) : 0 ax by c ( )( ) ⇔ + + + + > 0 M M N N ax by c ax by c

• M, N ở khác phía đối với đường thẳng ∆ + + = ( ) : 0 ax by c ( )( ) ⇔ + + + + < 0 M M N N ax by c ax by c

• cho hai đường thẳng ∆ + + = ( ) : 0 ax by c và ∆ + + = ( ') : ' ' ' 0 a x b y c thì:

phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi ∆ và ∆' là + + + + = ± + + 2 2 2 2 ' ' '

' '

ax by c a x b y c

a b a b

( )

+ ∆∆ = + + 2 2 2 2 ' ' cos ; '

. ' '

aa bb

a b a b

∆⊥∆⇔ + = ' ' ' 0 aa bb . 3. Đường tròn

• đường tròn (C) tâm ( ) ; o o T x y , bán kính R có phương trình là ( ) ( ) − + − = 2 2 2 o o x x y y R .

• phương trình + + + + = 2 2 2 2 0 x y ax by c với + − > 2 2 0 a b c là phương trình của một đường tròn

với tâm ( ) − − ; T a b và bán kính = + − 2 2 R a b c .

• cho đường thẳng ∆ + + = ( ) : 0 ax by c và đường tròn (C) có tâm ( ) ; o o T x y và bán kính R . Lúc đó:

∆ ( ) tiếp xúc (C) ( ) + + ⇔ ∆= ⇔ = + 2 2 ; o o ax by c d T R R a b .

www.MATHVN.com

MATH.VN

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế 3

4. Đường elip

x

y

F2 F 1

O

M

• Định nghĩa: ( ) { } = + = 1 2 | 2 E M MF MF a

• Phương trình chính tắc:

( ) ( ) + = < <

2 2

2 2 : 1 0 x y E b a a b

• Tiêu điểm: ( ) ( ) − 1 2 ;0 , ;0 F c F c với 2 2 c a b = −

• Tiêu cự: = 1 2 2 F F c

• Bán kính qua tiêu: = + = − 1 2 ; c c MF a x MF a x a a

• Tâm sai: = <1 c e a

• Trục lớn là Ox, độ dài trục lớn: 2a • Trục bé là Oy, độ dài trục bé: 2b • Tọa độ các đỉnh: ( ) ( ) ( ) ( ) − − ;0 , ;0 , 0; , 0; a a b b

5. Đường hypebol

x

y

M(x;y)

F2(c;0) F 1 (-c;0) O

• Định nghĩa: ( ) { } = − = 1 2 | 2 H M MF MF a

• Phương trình chính tắc:

( ) ( ) − = < <

2 2

2 2 : 1 0 ;0 x y H a b a b

• Tiêu điểm: ( ) ( ) − 1 2 ;0 , ;0 F c F c với 2 2 c a b = +

• Tiêu cự: = 1 2 2 F F c

• Bán kính qua tiêu: = + = − 1 2 ; c c MF a x MF a x a a

• Tâm sai: = >1 c e a

• Trục thực là Ox, độ dài trục thực: 2a • Trục ảo là Oy, độ dài trục ảo: 2b

• Phương trình các đường tiệm cận: = ± …