Chuyên đề khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số

Trang 1

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. Kiến thức cơ bản Giả sử hàm số y f x ( ) = có tập xác định D.

• Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y x D 0, ′ ≥ ∀∈ và y 0 ′ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. • Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y x D 0, ′ ≤ ∀∈ và y 0 ′ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.

• Nếu y ax bx c a 2 ' ( 0) = + + ≠ thì:

+ a y x R 0 ' 0, 0 ∆ > ≥ ∀∈ ⇔ ≤  + a y x R 0 ' 0, 0 ∆ < ≤ ∀∈ ⇔ ≤ 

• Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x ax bx c a 2 ( ) ( 0) = + + ≠ :

+ Nếu ∆ < 0 thì g x ( ) luôn cùng dấu với a.

+ Nếu ∆ = 0 thì g x ( ) luôn cùng dấu với a (trừ b x a 2 = − )

+ Nếu ∆ > 0 thì g x ( ) có hai nghiệm x x 1 2 , và trong khoảng hai nghiệm thì g x ( ) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g x ( ) cùng dấu với a.

• So sánh các nghiệm x x 1 2 , của tam thức bậc hai g x ax bx c 2 ( ) = + + với số 0:

+ x x P S 1 2

0 0 0 0

∆  ≥  ≤ < ⇔ >  <  + x x P S 1 2

0 0 0 0

∆  ≥  < ≤ ⇔ >  >  + x x P 1 2 0 0 < < ⇔ <

• a b g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) max ( ) ≤ ∀∈ ⇔ ≤ ; a b g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) min ( ) ≥ ∀∈ ⇔ ≥

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp 1. Tìm điều kiện để hàm số y f x ( ) = đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định). • Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y x D 0, ′ ≥ ∀∈ và y 0 ′ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. • Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y x D 0, ′ ≤ ∀∈ và y 0 ′ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.

• Nếu y ax bx c a 2 ' ( 0) = + + ≠ thì:

+ a y x R 0 ' 0, 0 ∆ > ≥ ∀∈ ⇔ ≤  + a y x R 0 ' 0, 0 ∆ < ≤ ∀∈ ⇔ ≤ 

2. Tìm điều kiện để hàm số y f x ax bx cx d 3 2 ( ) = = + + + đơn điệu trên khoảng ( ; ) α β .

Ta có: y f x ax bx c 2 ( ) 3 2 ′ ′ = = + + .

a) Hàm số f đồng biến trên ( ; ) α β ⇔ y x 0, ( ; ) ′ ≥ ∀∈α β và y 0 ′ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ; ) α β .

Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f x h m g x ( ) 0 ( ) ( ) ′ ≥ ⇔ ≥ (*)

thì f đồng biến trên ( ; ) α β ⇔ h m g x ( ; ) ( ) max ( ) ≥

α β

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng

Trang 2

• Nếu bất phương trình f x h m g x ( ) 0 ( ) ( ) ′ ≥ ⇔ ≤ (**)

thì f đồng biến trên ( ; ) α β ⇔ h m g x ( ; ) ( ) min ( ) ≤

α β

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x ( ) 0 ′ ≥ không đưa được về dạng (*) thì đặt t x = −α .

Khi đó ta có: y g t at a b t a b c 2 2 ( ) 3 2(3 ) 3 2 α α α ′ = = + + + + + .

– Hàm số f đồng biến trên khoảng a ( ; ) −∞ ⇔ g t t ( ) 0, 0 ≥ ∀< ⇔

a a S P

0 0 0 0 0

0

∆ ∆

>  > > ∨   ≤ >   ≥ 

– Hàm số f đồng biến trên khoảng a ( ; ) +∞ ⇔ g t t ( ) 0, 0 ≥ ∀> ⇔

a a S P

0 0 0 0 0

0

∆ ∆

>  > > ∨   ≤ <   ≥ 

b) Hàm số f nghịch biến trên ( ; ) α β ⇔ y x 0, ( ; ) ′ ≥ ∀∈α β và y 0 ′ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ; ) α β .

Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f x h m g x ( ) 0 ( ) ( ) ′ ≤ ⇔ ≥ (*)

thì f nghịch biến trên ( ; ) α β ⇔ h m g x ( ; ) ( ) max ( ) ≥

α β

• Nếu bất phương trình f x h m g x ( ) 0 ( ) ( ) ′ ≥ ⇔ ≤ (**)

thì f nghịch biến trên ( ; ) α β ⇔ h m g x ( ; ) ( ) min ( ) ≤

α β

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x ( ) 0 ′ ≤ không đưa được về dạng (*) thì đặt t x = −α .

Khi đó ta có: y g t at a b t a b c 2 2 ( ) 3 2(3 ) 3 2 α α α ′ = = + + + + + .

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng a ( ; ) −∞ ⇔ g t t ( ) 0, 0 ≤ ∀< ⇔

a a S P

0 0 0 0 0

0

∆ ∆

<  < > ∨   ≤ >   ≥ 

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng a ( ; ) +∞ ⇔ g t t ( ) 0, 0 ≤ ∀> ⇔

a a S P

0 0 0 0 0

0

∆ ∆

<  < > ∨   ≤ <   ≥ 

3. Tìm điều kiện để hàm số y f x ax bx cx d 3 2 ( ) = = + + + đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k cho trước.

• f đơn điệu trên khoảng x x 1 2 ( ; ) ⇔ y 0 ′ = có 2 nghiệm phân biệt x x 1 2 , ⇔ a 0

0 ∆ ≠  >  (1)

• Biến đổi x x d 1 2 − = thành x x x x d 2 2 1 2 1 2 ( ) 4 + − = (2)

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

4. Tìm điều kiện để hàm số ax bx c y a d dx e

2

(2), ( , 0) + + = ≠ +

a) Đồng biến trên ( ; ) α −∞ .

b) Đồng biến trên ( ; ) α +∞.