Các dạng toán liên quan đến cực trị của hàm số Vũ Ngọc Huyền

Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12 Ngọc Huyền LB

Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB ®

I.II Cực trị của hàm số và giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của hàm số.

A. Lý thuyết về cực trị của hàm số Ở phần I.I ta vừa học cách sử dụng đạo hàm để tìm khoảng đơn điệu của hàm số, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số. Ở phần này ta sẽ xác định điểm nằm giữa khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, và ngược lại. Những điểm này được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số. Điểm cực trị bao gồm cả điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số ở hình 1.7 có điểm cực đại là điểm phía bên trái và điểm cực tiểu ở phía bên phải (điểm được đánh dấu). 1. Định nghĩa

Cho hàm số  y f x  xác định và liên tục trên khoảng   ;a b ( có thể a là ; b là 

) và điểm   ; ox a b  .

a, Nếu tồn tại số 0 h  sao cho    0 f x f x  với mọi   0 0 ; x x h x h    và 0 x x  thì

ta nói hàm số  f x đạt cực đại tại 0x .

b, Nếu tồn tại số 0 h  sao cho    0 f x f x  với mọi   0 0 ; x x h x h    và 0 x x  thì

ta nói hàm số  f x đạt cực tiểu tại 0x .

Với hàm liên tục thì hàm số sẽ đạt cực trị tại điểm làm cho ' 0 y  hoặc ' y

không xác định được thể hiện ở hình 1.8

Nếu hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x c  thì x c  là điểm làm cho ' y

bằng 0 hoặc ' y không xác định.

2. Chú ý

Nếu hàm số  f x đạt cực đại (cực tiểu) tại 0x thì 0x được gọi là điểm cực đại

(điểm cực tiểu) của hàm số ;   0 f x được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)

của hàm số, kí hiệu   CD CT f f , còn điểm     0 0 ; M x f x được gọi là điểm cực đại

(điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Trong các bài trắc nghiệm thường có các câu hỏi đưa ra để đánh lừa thí sinh khi phải phân biệt giữa điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị của điểm cực trị của đồ thị hàm số. 3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Khi  'f x đổi dấu từ dương sang âm qua x c  thì x c  được gọi là điểm cực

đại của hàm số.

điểm cực đại

điểm cực tiểu

O

y

x Hình 1.7

STUDY TIP: điểm cực trị của hàm số là x c  ; còn

điểm cực trị của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ

   M c;f c

c

x

y điểm cực đại

Hình 1.8

c x

y không xác định

điểm cực đại

O O

Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12 The best or nothing

Đặt trước chỉ duy nhất tại: http://cpt.gr8.com/

Khi  'f x đổi dấu từ âm sang dương qua x c  thì x c  được gọi là điểm cực

tiểu của hàm số.

Hình 1.9 mô tả điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

Ví dụ 1: Hàm số 4 3 y x x   có điểm cực trị

A. 3 0; 4 x x   B. 0 x  C. 3 4 x  D. 1 x 

Lời giải: Ta có   3 2 2 ' 4 3 4 3 y x x x x    

0 ' 0 3 4

x y

x

    

Ta thấy ' y không đổi dấu qua 0 x  , do vậy 0 x  không là điểm cực trị của

hàm số. Và ' y đổi dấu từ âm sang dương quan 3 4 x  do vậy 3 4 x  là điểm cực

tiểu của hàm số.

Hình 1.10 thể hiện đồ thị hàm số , ta thấy rõ điểm   0;0 O không là điểm cực trị

của đồ thị hàm số).

Nếu x c  là điểm cực trị của hàm  y f x  thì  ' 0 f c  hoặc  'f c không xác

định, nhưng nếu  ' 0 f c  thì chưa chắc x c  đã là điểm cực trị của hàm số.

4. Quy tắc để tìm cực trị Quy tắc 1

điểm cực tiểu

c O x

y

c O x

y Không phải điểm cực trị

điểm cực đại

c O x

y

c O x

y Không phải điểm cực trị

Hình 1.9

O

y

x

điểm cực tiểu

Hình 1.10