Các chuyên đề về Khảo sát Hàm số

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ

CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM

I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R}

Hàm số Tập xác định Hàm số Tập xác định Hàm số Tập xác định

( ) x A y = ( ) 0 x A ≥ tgx y = π + π ≠ k 2 x ( ) ( ) x B log y x A = ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≠ < > 1 x A 0 0 x B

( ) ( ) x B x A y = ( ) 0 x B ≠ gx cot y = π ≠k x ⎢ ⎣

⎡ = x

x

e

a y ) 0 a ( x > ∀

( ) n 2 x A y = ( ) ( ) + ∈

≥

Z n

0 x A

⎢⎣

⎡ = x arccos x arcsin y 1 x 1 ≤ ≤ − ⎢⎣

⎡ = x ln x log y 0 x > ∀

( ) 1 n 2 x A y + = ( ) + ∈

∈ ∀

Z n

D x

( ) [ ] ( ) x B x A y = ( ) 0 x A > ( ) ( ( ) ( ) ⎢⎣

⎡ ± = x g x f x g x f y D

)

g f D D D ∩ =

II. MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D} 1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D Hàm f(x) f(D): MGT Hàm f(x) f(D): MGT ( ) ( ) b x f

a x f

≥

≤

( ) ( ] ( ) [ ) +∞ =

∞ − =

,b D f

a , D f

( ) ( ) b x f a

b x f a

< <

≤ ≤

( ) [ ] ( ) ( ) b ,a D f

b ,a D f

=

=

2. Đánh giá biểu thức bằng các BĐT:

( ) [ ] ( )

( )( ) 2 2 2 2

2

d c b a bd ac : sky Bunhiacôp . ab 2 b a : Côsi BĐT *

định. xác x A làm x a, a a x A *

+ + ≤ + ≥ +

∀ ∀ ≥ +

III. HÀM HỢP gof

[ ]( ) ( ) [ ]

( ) { } ( ) ( ) { } ⎢ ⎣

⎡ ⊂ ∧ ≠

∈ ∧ ∈ =

≠ = ∈ ∀

∃ ⇒ φ =

g f f f

g f g f f g

o o o f g

f g o f f

f f f o

D T 0 T , D

D T ; D x f D x | x D *

f g g f và x f g x f g : D x *

Z D : f g D T *

Z D : g và T D : f hàm hai của hợp hàm là f g

o

o

o

∩

6 ∩

6 6

IV. HÀM CHẴN – LẺ y=f(x) ĐỐI XỨNG QUA O:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D x lẽ không chẵn không Hàm : x f x f lẽ f : D x x f x - f chẵn f: D x x f x f ∈ ∀ ± ≠ − ⇒ ⎥⎦

⎤ ∈ ∀ − = ∈ ∀ = −

V. GIỚI HẠN HÀM SỐ:

1. Phương pháp 1: Khử dạng vô định 0 0

Cơ sở của phương pháp là làm xuất hiện dạng trong biểu thức hàm các thừa số (x - x0), để rồi giản ước chính các thừa số đó của tử

số và mẫu số trong ( ) ( ) x g x f lim

0 x x→ với các chú ý:

• Nếu tử và mẫu là các đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử và mẫu cho (x - x0). Riêng ở đây ta dùng thủ thuật chia Hormer. • Nếu chỉ ở tử hoặc mẫu có chứa căn thức, ta nhân cho tử và mẫu một lượng liên hợp của căn thức đó.

llh llh 3 2 3 3 3 3 A B A B A B A AB B + ←⎯→ − ± ←⎯→ ± + Nếu tử và mẫu đều có chứa căn thức, ta sẽ nhân vào tử và mẫu cùng hai lượng liên hợp giao hoán tương ứng. • Không loại trừ các khả năng sử dụng nhanh các hằng đẳng thức:

- 1

http://boxtailieu.net

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ

( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

2 2 3 3 2 2

4 4 2 2 n n n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1

a b a b a b a b a b a ab b

a b a b a b a b a b a b a a b a b ... ab b − − − − −

− = − + ± = ± ± +

− = + − + − = − + + + + +

• Để ý rằng việc biến đổi sơ cấp có thể làm dạng vô định này trở thành dạng vô định khác. Chẳng hạn:

( ) ( ) đó) tự thứ theo 0 (dạng x g x f lim

0 x ∞ × →

2. Phương pháp 2: Khử dạng vô định ∞

∞

• PP1: Đặt số mũ lớn nhất của các đa thức thành phần ở tử và mẫu làm nhân tử chung để khử vô định. • PP

- 2

2: Dùng các định lý giới hạn tương đương:

( )

( ) ( ) ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = ε > ε + + + +

⎪⎩

⎪⎨ ⎧

> − + + ⇒ −∞ → > + + ⇒ +∞ →

⇒ ∞ →

∞ → 0 x lim và 0 a với ; x a 2 b x a ~ c bx ax / 3

) 0 a (;a x ~ c bx ax x ) 0 a (;a x ~ c bx ax x 2/

x a ~ x P x 1/

x

2

2

2

n n n

3. Phương pháp 3: Khử dạng vô định ∞ − ∞ Cơ sở của phương pháp tìm giới hạn này là: 1/ Sử dụng lượng liên hợp.

2/ Sử dụng biểu thức tiệm cận: ( ) x a 2 b x a ~ c bx ax2 ε + + + + trong đó: a > 0 và ( ) 0 x lim x = ε ∞ →

3/ Sử dụng các hằng đẳng thức. 4/ Không dùng hàm số tương đương cho dạng tổng. 4. Phương pháp 4: Giới hạn của hàm lượng giác • TH1: Khi (x tính bằng radian) 0 x →

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

u x 0 u x 0

2 2 2 u x 0

sinu x tgu x lim 1 hay sinu x ~ u x lim 1 hay tgu x ~ u x u x u x

1 cosu x 1 1 lim hay 1-cos u x ~ u x 2 2 u x

→ →

→

= =

− ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

Không loại trừ nhân các lượng liên hợp lượng giác.

( ) ( ) ( ) ( ) llh llh 1 sinu 1 sinu 1 cosu 1 cosu + ←⎯→ − + ←⎯→ −

• TH2: Khi hàm lượng giác có dạng vô định (x tính bằng rađian) 0 x x →

* Đặt: ⎩ ⎨ ⎧ → ⇒ …