Các bài toán về tiếp tuyến của Đồ thị Hàm số

T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ 8.1 Cho hàm số    3 2 1 1 f x x m x     có đồ thị là  , m C m là tham số .

8.1.1 Với giá trị nào của m , đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ?. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với 2 m  . Hướng dẫn : Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm phương trình

       

3 2

2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 0 1 2 0 2

x x m x x x x m g x x x m

                  

Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  1 có ba nghiệm

phân biệt hay phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt khác 1 , tức là



8 3 0 3 3 1 3 2 0 8 2

m

m g m

           

8.1.2 Với giá trị nào của m , đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ :

1) 2 a x  2) 1 a x  3) 1 0 a x    8.2.1 Tìm giao điểm của đồ thị  C của hàm số 

3 2 3 3 2 f x x x x     và parabol

 

2 : 4 2 P g x x x    . Xét vị trí tương đối của đường cong  C và parabol  P ( tức là xác định

mỗi khoảng trên đó  C nằm phía trên hoặc dưới  P ).

8.2.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 

3 4 3 3 f x x x    . Với giá trị nào của m ,

phương trình 3 4 3 2 3 0 x x m     có nghiệm duy nhất ?. 8.2.3 Cho hàm số    3 2 3 3 2 1 1 f x x mx m x      có đồ thị là  , m C m là tham số .

) a Chứng tỏ rằng với mỗi giá trị của m , đồ thị   m C của hàm số đã cho và đường thẳng

  2 4 3 m d y mx m    luôn có một điểm chung cố định .

) b Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng   m d và đường cong   m C cắt nhau

1) b Tại ba điểm phân biệt

2) b Tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương . ) c Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1 m  Hướng dẫn :

) a   2 4 3 m d y mx m    luôn đi qua điểm cố định   2;3 A và    2 3 m f A C    .Để giải quyết

dạng này học sinh xem lại lý thuyết hàm số sách đại số 7 và đại số 10 .

) b        2

1

0 2 3 2 1 2 0 ) 4 9 9 8

m m

m d C x x m x m b

m

                  

:

T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 8.2.4 Cho hàm số      3 2 1 2 1 2 f x x m x m x m        có đồ thị là  , m C m là tham số .

) a Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m , đồ thị   m C của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố

định .

) b Chứng minh rằng mọi đường cong   m C tiếp xúac nhau tại một điểm. Viết phương trình tiếp tuyến

chung của các đường cong   m C tại điểm đó .

8.3.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 

4 2 4 3 f x x x    .Tìm các giá trị của m sao cho

phương trình 4 2 4 3 2 1 0 x x m      có 8 nghiệm?.

8.3.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 

4 2 2 3 f x x x    .Với giá trị nào của m ,

đường thẳng 8 y x m   là tiếp tuyến của đồ thị.

8.4 Cho hai hàm số     2 2 1 1 à 1 4 4 P f x x x v C g x x x       : :

8.4.1 Chứng minh rằng đồ thị   à P v C tiếp xúc nhau tại điểm A có hoành độ 1 x  .

8.4.2 Viết phương trình tiếp tuyến cung t của   à P v C tại điểm A . Chứng minh rằng  P nằm

phía dưới đường thẳng t và  C nằm phía trên t .

8.5.1 Chứng minh rằng các đồ thị hàm số    2 1 3 4, 1 à 4 6 f x x x g x v k x x x x        tiếp

xúc nhau tại một điểm. 8.5.2 Chứng minh rằng parabol  

2 : 3 1 P f x x x    tiếp xúc với đồ thị  C của hàm số



2 2 3 1 x x k x x      . Viết phương trình tiếp tuyến chung của   à P v C tại tiếp điểm của chúng.

8.5.3 Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến của parabol  

2 : 3 P f x x x   đi qua điểm 3 5 ; 2 2 A      

và

vuông góc nhau.

8.6 Cho hàm số   1 ; , 1 mx f x m m x m     có đồ thị là  , m G m là tham số .

8.6.1 Chứng minh rằng với mỗi 1 m  , đường cong   m G luôn đi qua hai điểm cố định , A B .

8.6.2 Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của   m G . Tìm tập hợp của các điểm M khi m thay

đổi . 8.7.1

) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của …