Các dạng toán hay gặp về Đạo hàm

Đạo hàm,KS hàm số và BT liên hệ - Trang 1 - Gv soạn: Phạn Văn Luật

Phần I. ĐẠO HÀM 1. Định nghĩa đạo hàm : Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a;b) và x0∈(a;b).

a) f’(x0) = x

) x (f ) x x (f lim x y lim 0 0

0 x 0 x ∆

− ∆ + = ∆

∆

→ ∆ → ∆ là đạo hàm của f(x) tại x0.

b) f’(x0

+) = x y lim

0 x ∆

∆

+ → ∆ là đạo hàm bên phải của f(x) tại x0.

c) f’(x0

−) = x y lim

0 x ∆

∆

− → ∆ là đạo hàm bên trái của f(x) tại x0.

Sự có đạo hàm: f’(x0

+) = f’(x0

−) = A ⇔ f’(x0) = A

d) f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) ⇔ f(x) có đạo hàm tại ∀x0∈(a;b).

e) f(x) có đạo hàm trên [a;b] ⇔

 

 



∃

∃

−

+

) (b f'

) (a f'

b) (a; trên hàm đạo có ) x (f

2. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại x ∈ (a;b) ⊂ D (Tập xác định của hàm số):

• Cho x số gia ∆x, tìm ∆y = f(x+∆x) − f(x).

• Lập tỷ số x y

∆

∆

.

• Tìm ) x ('f x y lim

0 x = ∆

∆

→ ∆ , nếu giới hạn tồn tại.

3. Tiếp tuyến của đường cong phẳng (C): y = f(x): A. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Hệ số góc của tiếp tuyến của (C): y = f (x) tại tiếp điểm M0(x0;y0) là k = f’(x0). B. Phương trình tiếp tuyến: Của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) có dạng:

y−y0 = f’(x0)(x−x0) (1). Viết được (1) là phải tìm x0; y0 và f’(x0). 4. Bảng quy tắc tính đạo hàm:

Cho u,v,w...là các hàm số có biến số x, lần lượt có đạo hàm theo x là u’,v’,w’....Ta có: 1) (u ± v)’ = u’ ± v’.

Mở rộng :(u ± v ± w)’ = u’ ± v’± w’. 2) (u.v)’ = u’v+u v’.

Hệ quả : (ku)’ = k.u’ , k: hằng số.

3) ( v

u )’ = 2 v

v' u v u' − .

Hệ quả : ( v

k )’ = 2 v kv' − , v≠0, k: hằng số.

4) (y[u(x)])’ = y’u.u’x ( đạo hàm của hàm số hợp )

Đạo hàm,KS hàm số và BT liên hệ - Trang 2 - Gv soạn: Phạn Văn Luật

5. Bảøng các đạo hàm :

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp (C)’ = 0 với C là hằng số (x)’ = 1 (x α )’ = αxα − 1

( x

1 )’ = 2 x

1 − (x≠0)

( x )’ = x 2

1

(x>0)

(u α )’ = αuα − 1.u’

( u

1 )’ = − 2 u

'u

( u )’ = u 2

'u

(sinx)’ = cosx (cosx)’ = − sinx

x cos

1 )' tgx ( 2 = = 1+tg2x (x ≠ Z k , k 2

∈ π + π )

x sin

1 )' gx (cot 2 − = = − (1+cotg2x)

(x ≠ Z k , k ∈ π )

(sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = − u’.sinu

) u tg 1('u u cos

'u )' tgu (

2

2 + = =

) u g cot 1('u u sin

'u )' gu (cot

2

2 + − = − =

(ex)’ = ex

(ax)’ = ax.lna (0<a ≠1)

(eu)’ = u’.eu

(au)’ = u’.au.lna

(ln|x|)’ = x

1 ( x≠0)

(loga|x|)’ = a ln x

1 (0<a ≠1, x≠0)

(ln|u|)’ = u

'u

(loga|u|)’ = a ln u

'u

6. Đạo hàm cấp cao – vi phân : a) Đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1 của hàm số f(x), nếu có, là đạo hàm cấp n của hàm số f(x). Ký hiệu : [f (n − 1)(x)]’ = f (n)(x) = y(n)(x) b) Giả thiết y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b). Vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm x bất kỳ thuộc khoảng (a;b) là :

dy = f’(x).dx. c) Tính gần đúng:

f(x0+∆x) ≈ f(x0) + f ’(x0).∆x

Đạo hàm,KS hàm số và BT liên hệ -Trang 3 - Gv soạn: Phạn Văn Luật

Phần II. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

I.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1) Kiến thức lớp 10 :

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x1 < x2 với x1,x2∈(a;b)

a) Nếu f(x1) < f(x2) thì f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). b) Nếu f(x1) > f(x2) thì f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b). 2) Định lý LaGrăng:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại một điểm c∈(a;b) sao cho :

f(b) − f(a) = f’(c)(b − a) hay a b

) a (f ) b (f )c('f

−

− =

3) Điều kiện đủ của tính đơn điệu : a) Định lý 2 :

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) . 1. Nếu f’(x) > 0 với ∀x∈(a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó. 2. Nếu f’(x) < 0 với ∀x∈(a;b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó. b) Định lý 3 (Mở rộng định lý 2) :

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) . Nếu f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0) với ∀x∈(a;b) và f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó.

Tóm tắt: Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên (a;b)

Hàm số nghịch biến trên (a;b) 4) Điểm tới hạn : a) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a;b). Điểm x0 được

gọi là 1 …