Các bài toán tiếp tuyến Đồ thị Hàm số có đáp án chi tiết

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho (m 1)x m (Cm) : y x m − + = − . Định m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x0 = 4 thì

song song với đường phân giác thứ 2 của góc hệ trục.

y| = = | mf (x)

2

2 m (x m) − −

Để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm với đường phân giác 2 ( ) : y x Δ = −, ta phải có:

2 | 2 m 2 m f 1 1 m (4 m) m (4 m) − = −⇔ = −⇔ = − ⇔ = −

2 2

Cho

2 (3m 1)x m m (C) : y ,m 0. x m + − + = + ≠ Tìm m để tiếp tuyến với (C) tại giao điểm với trục hoành

song song y = x. Viết phương trình tiếp tuyến. Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành

2

0 m m 1 x , m 0, 3m 1 3 − ⎧ ⎫ = ∉⎨ ⎬ + ⎩ ⎭ ,1 −

2 | 2 4m y (x m) = +

Tiếp tuyến tại điểm (C) có hoành độ // y = x

2 2 2 0 0 0 2 0

4m 1 4m (x m) x m x 3m (x m) = ⇔ = + ⇔ = ∨ = − +

2

2

m m m 1 m 3m 1 1 m m m 3m 5 3m 1

⎡ − = − = ⎡ ⎢ + ⎢ ⎢ ⇔ ⇔⎢ = − − ⎢− = ⎣ ⎢⎣ +

• tiếp tuyến tại (-1,0) có pt : y = x + 1 m = −1

• 1 m 5 = − tiếp tuyến tại 3 ,0 5 ⎛ ⎜⎝ ⎠ ⎞ ⎟ có pt : 3 y x 5 = −

Cho m (C) : y x 1 x 1 = −+ + .Tìm m để có điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị vuông góc nhau

Gọi là điểm cần tìm là đường thẳng (d) qua M 0 0 0 M (x ,y ) 0 y k(x x ) y ⇒ = − + 0 0

(d) là t2

0 0 0

2 0

m x 1 k(x x ) y kx k k kx y x 1 1 1 k (x 1)

⎧−+ = − + = + − − + ⎪ + ⎪ ⇔⎨ ⎪− = + ⎪⎩

0

0 0 m x 1 k(x 1) (1 x )k y x 1 1 x 1 k(x 1) x 1

⎧−+ = + − + + ⎪⎪ + ⇔⎨ ⎪+ − = + ⎪⎩ +

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

0 0

2

m 1 x 1 x 1 (1 x )k y x 1 x 1 1 1 k (x 1)

⎧−+ = + − − − + ⎪ + + ⎪ ⇔⎨ ⎪ = − ⎪ + ⎩

[ ]

0 0 0

0 2 2 2 2 0 0

m 1 y 2 y 2 (x 1)k k x 1 x 1 m 1 (1 k)(m 1) y 2 (x 1)k (1 k)(m 1) x 1

+ ⎧ + ⎧ = + − + ⎪ ≠ + ⎪ ⎪ + ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ + ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ = − + + − + = − + ⎜ ⎟ ⎩ ⎪ + ⎝ ⎠ ⎩

0

0 2 2 2 0 0 0 0 0 0

y 2 k x 1

(x 1) k 2(2m x )y 2x y 2)k (y 2) 4m 0 (*)

+ ⎧ ≠ ⎪ + ⇔⎨ ⎪ + + − − − − + + − = ⎩

Từ M0 kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau pt (*) ⇔ có 2 nghiệm thỏa k1k2 = -1 và khác 0

0

y 2 x 1 +

+

0

0 2 2 0 0

y 2 k x 1 m 0 (x 1) (y 2) 4m

+ ⎧ ≠ ⎪ + ⇔ ⇒ ⎨ ⎪ + + + = ⎩

>

Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thị x 1 y x 3 + = − với trục hoành , biết rằng tiếp tuyến đó

vuông góc với đường thẳng y = x + 2006

| 2 4 y , (x 3) = − ∀≠ − x 3

Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 , khi đó (T) có hệ số góc là KT = -1

. Gọi (x0,y0) là tiếp điểm của (d) và (C) , ta có

0 | 2 0 0 T x 5 4 K y 1 x 1 (x 3)

= ⎡ = ⇔−= − ⇒⎢ = − ⎣

• 0 0 1 x 1 y 1 (T ): y x = ⇒ = −⇒ = − • 0 0 2 x 5 y 3 (T ) : y x = ⇒ = ⇒ = −+ 8 { } { } 1 2 (T ) (Ox) O(0,0) ; (T ) (Ox) A(8,0) ∩ = ∩ =

Cho hàm số x 2 y f(x) x 1 + = = − ; gọi đồ thị hàm số là (C) , và A(0,a).Xác định a để từ A kẻ được 2 tiếp

tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp tuyến tương ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox Phương trình tiếp tuyến (T) với (C) tại

0 0 0 0 0 0 | (x ) M (x ,y ) : y y f (x x ) − = −

0 0 0 0 2 2 0 0 0 0

x 2 x 2 3 3 y (x x ) ; A(0,a) (T): a x 1 (x 1) x 1 (x 1) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ⇔ − = − − ∈ − = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( x )

0 0 2 2 0 0 0 0 0 (x )

x 1 x 1 0 g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0 (a 1)x 2(a 2)x a 2 0

≠ ⎧ −≠ ⎧ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ = − − + + + = − − + + + = ⎩ ⎪⎩