Các bài toán dễ ăn điểm về khảo sát hàm số lớp 12

Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88

CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Cho hàm số ( )x f y = ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:

Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm ( ) ( ) 0 0 ; M x y C ∈ .

− Tính đạo hàm và giá trị ( ) 0 ' f x . − Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 ' y f x x x y = − + .

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm ( ) ( ) 0 0 ; M x y C ∈ có hệ số góc ( ) 0 ' k f x =

Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k . − Giải phương trình: ( ) ' f x k = , tìm nghiệm 0 0 x y ⇒ . − Phương trình tiếp tuyến dạng: ( ) 0 0 y k x x y = − + .

Chú ý: Cho đường thẳng : 0 Ax By C ∆ + + = , khi đó: − Nếu ( ) // : d d y ax b ∆⇒ = + ⇒ hệ số góc k = a.

− Nếu ( ) : d d y ax b ⊥∆⇒ = + ⇒ hệ số góc 1 k a = − .

Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm ( ) ( ) ; A A A x y C ∉ .

− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( ) ( ) : A A d y k x x y = − +

− Điều kiện tiếp xúc của ( ) ( ) à d v C là hệ phương trình sau phải có nghiệm:

( ) ( )

( ) '

A A f x k x x y

f x k

 = − +  

= 

Tổng quát: Cho hai đường cong ( ) ( ) : C y f x = và ( ) ( ) ' : C y g x = . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với

nhau là hệ sau có nghiệm.

( ) ( )

( ) ( ) ' '

f x g x

f x g x

 =  

= 

.

1. Cho hàm số 4 2 2 y x x = − a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C):

i. Tại điểm có hoành độ 2 x = . ii. Tại điểm có tung độ y = 3. iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: 1 :24 2009 d x y − + . iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: 2 : 24 2009 d x y + + .

2. Cho hàm số

2 3 1 x x y x

− − + =

+

có đồ thị là (C).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

i. Tại giao điểm của (C) với trục tung. ii. Tại giao điểm của (C) với trụng hoành. iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;−1). iv. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = −13.

3. Cho hàm số

2 1 1 x x y x

− − =

+

có đồ thị (C).

1

Hoctoancungthukhoa.com Liên hệ: 0964.73.22.88

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0. c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0. d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C). 4. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1 ⇔x(x2 + mx + 1) = 0 (*)

Đặt g(x) = x2 + mx + 1 . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt ⇔g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.

( )

2 4 0 2

2 0 1 0

g m m m g

∆ = − > >   ⇔ ⇔   < − = ≠  

.

Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0 1

B C

B C

S x x m

P x x

= + = −  ⇒  = = 

.

Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: ( ) ( ) 1 C B f x f x ′ ′ = −

( ) ( ) 3 2 3 2 1 B C B C x x x m x m ⇔ + + = − ( )

2 9 6 4 1 B C B C B C x x x x m x x m   ⇔ + + + = −  

( )

2 1 9 6 4 1 m m m   ⇔ + − + = −   2 2 10 m ⇔ = 5 m ⇔ = ± (nhận so với điều kiện)

5. Cho hàm số

2 1 x y x

+ = . Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp

tuyến vuông góc.

Lời giải:

Gọi M(x0;y0). Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x0) + y0.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: ( ) ( )

2

0 0 1 , 0 x k x x y kx x

+

= − + ≠

( ) ( ) ( ) 2

0 0 1 1 0 * k x y kx x ⇔ − − − + =

d tiếp xúc với (C):

( ) ( ) 2 0 0

1

4 1 0

k

y kx k

≠  ⇔ 

∆= − − − = 

( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0

0 0

1

2 2 4 0 I

k

x k x y k y

y kx

≠   ⇔ + − + − =   ≠ 

Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

1 2

1 2

, 1

1

k k

k k

≠   = − 

( )

0

2 0

2 0

2 0 0

0

4 1

0

x

y

x

y x

 ≠   −  ⇔ = −   

− ≠ 

0

2 2 0 0

0 0

0

4

x

x y

y x

≠   ⇔ + =   ≠ 

.

Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán …