Tuyển tập các bài toán có đáp án chi tiết về cực trị của hàm số lớp 12

Diendantoanhoc.net HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CỰC TRỊHÀM SỐ

Định nghĩa: Hàm sốf(x) xác định trên D ⊆R

Điểm xo ∈D được gọi là điểm cực đại của hàm sốf (x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) ⊂D sao cho xo ∈(a; b) và f (xo) > f (x) , ∀x ∈(a, b) \ {xo} Điểm x1 ∈D được gọi là điểm cực tiểu của hàm sốf (x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) ⊂D sao cho x1 ∈(a; b) và f (x1) < f (x) , ∀x ∈(a, b) \ {xo}

Cách xác định điểm cực trịcủa hàm số: Đểxác định được các điểm cực đại, cực tiểu của hàm sốcác em cần nắm chắc ba định lí sau:

Định lý 1: (Điều kiện cần đểhàm sốcó cực trị)

Nếu hàm sốf (x) đạt cực trịtại điểm xo và hàm sốcó đạo hàm tại xo, thì f ′ (xo) = 0 (Tuy nhiên hàm sốcó thểđạt cực trịtại một điểm mà tại đó hàm sốkhông có đạo hàm, chẳng hạn với hàm y = |x|, đại cực trịtại xo = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó)

Định lí 2: (Điều kiện đủđểhàm sốcó cực trị)

- Nếu f ′ (x) < 0, ∀x ∈(a, xo) và f ′ (x) > 0, ∀x ∈(xo; b) thì f (x) đạt cực tiểu tại xo (Đạo hàm đổi dấu từâm sang dương khi qua xo)

x a x b y′ − 0 +

y ↘ ↗ yCT

Ta nói, đồthịhàm sốcó điểm cực tiểu là M (xo, yCT) - Nếu f ′ (x) > 0, ∀x ∈(a, xo) và f ′ (x) < 0, ∀x ∈(xo; b) thì f (x) đạt cực đại tại xo (Đạo hàm đổi dấu từdương sang âm khi qua xo)

x a x b y′ + 0 − yCD y ↗ ↘

Ta nói đồthịhàm sốcó điểm cực đại là M (xo; yCD) Chú ý: Không cần xét hàm sốf (x) có hay không đạo hàm tại xo Ví dụ: Hàm số:

y = |x| = −x Nếu x ∈(−∞; 0) x Nếu x ∈(0; +∞) ⇒y′ = −1 < 0 Nếu x ∈(−∞; 0) 1 > 0 Nếu x ∈[0; +∞)

Nên hàm sốđạt cực tiểu tại xo = 0. Định lí 3:

- Nếu f ′ (xo) = 0 và f ′′ (xo) > 0 thì f (x) đạt cực tiểu tại xo - Nếu f ′ (xo) = 0 và f ′′ (xo) < 0 thì f (x) đạt cực đại tại xo Từđó các em có cách xác định cực trịnhư sau: Bước 1: Tính đạo hàm y′, tìm những điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không xác định

Page 1

Diendantoanhoc.net HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bước 2: Cách 1: Xét dấu y’ dựa vào định lí 2 đểkết luận điểm cực đại, cực tiểu (Thường dùng cách này) Cách 2: Xét dấu y′′ (xo) (xo là nghiệm của y’) dựa vào định lí 3 đểkết luận Chú ý: Hàm sốphân thức bậc nhất trên bậc nhất

y = ax + b

cx + d ⇒y′ = ad −bc

(cx + d)2

Dấu của đạo hàm không phụthuộc vào x, hay độc lập với x nên hàm sốluôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Do đó hàm sốluôn không có cực trị.

B – Giải toán I - Bài toán cực trịvới hàm đa thức bậc ba: Kiến thức bổsung:

y = ax3 + bx3 + cx + d (C) ⇒y′ = 3ax2 + 2bx + c (a ̸= 0)

Sốlượng điểm cực trị:

- Nếu y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt (∆> 0) thì hàm sốcó hai cực trị(một cực đại và một cực tiểu) - Nếu y’ = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm (∆≤0) thì hàm sốkhông có cực trị. Như vậy khi đềbài hỏi các câu hỏi như: Tìm m đểhàm sốcó cực trịhoặc có hai điểm cực trịhoặc có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. . . thì điều kiện tương đương đều là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Đường thẳng qua hai điểm cực trị

Trong trường hợp hàm sốcó hai điểm cực trị, ta viết được đường thẳng đi qua hai điểm cực trị như sau: Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: y = ax3 + bx3 + cx + d cho y′ = 3ax2 + 2bx + c được thương là q (x) và phần dư là r (x) = mx + n, ta được:

y = y′.q (x) + r (x)

Bước 2: Chứng minh đường thẳng (d) : y = r (x) = mx + n là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Giảsửhai điểm cực trịlà M (x1; y1) , N (x2, y2) (Chú ý: x1, x2 là nghiệm của y′ nên y′ (x1) = y′ (x2) = 0) Khi đó M, N thuộc (C), do đó:

y1 = y′ (x1) .q (x1) + r (x1) = r (x1) ⇒y1 = mx1 + n ⇒M ∈(d)

y2 = y′ (x2) .q (x2) + r (x2) = r (x2) ⇒y2 = mx2 + n ⇒N ∈(d)

Tức là (d) là đường thẳng đi qua hai cực trị. Chú ý: Trong một sốtrường hợp đặc biệt y’ = 0 có "nghiệm đẹp" tức là có thểtìm cụthểtọa độ các điểm cực trịthì không nên máy móc viết phương trình các điểm cực trịnhư trên mà nếu cần thì

Page 2