Tuyển tập các dạng toán liên quan khảo sát đồ thị hàm số lớp 12

Khảo sát hàm số

1

Đồ thị hàm số và

các bài toán liên quan

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tính đơn điệu của hàm số 1.1. Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên K , với K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng. Khi

đó

f đồng biến trên K ( ) 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x ⇔∀ ∈ < ⇒ < .

f nghịch biến trên K ( ) 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x ⇔∀ ∈ < ⇒ > .

1.2. Điều kiện cần và đủ Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Khi đó

f đồng biến trên I ⇔ 0 ( ) , f x x I ′ ≥ ∀ ∈ và 0 ( ) f x ′ = chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I .

f nghịch biến trên I ⇔ 0 ( ) , f x x I ′ ≤ ∀ ∈ và 0 ( ) f x ′ = chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I .

f là hàm hằng trên I 0 ( ) , f x x I ′ ⇔ = ∀ ∈ .

2. Cực trị của hàm số 2.1. Điều kiện cần để có cực trị Cho hàm số f có đạo hàm tại 0 x . Nếu hàm số f đạt cực trị tại 0 x thì 0 0 ( ) f x ′ = .

2.2. Điều kiện đủ để có cực trị 2.2.1. Điều kiện đủ thứ nhất. Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( ; ) a b , 0 ( ; ) x a b ∈ . Khi đó

nếu ( ) f x ′ đổi dấu khi x qua 0 x thì f đạt cực trị tại 0 x .

x 0 x x 0 x

( ) f x ′

0 ( ) f x ′ 0

( ) f x

CĐ ( ) f x

CĐ

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

Khảo sát hàm số

2

2.2.2. Điều kiện đủ thứ hai. Cho hàm số f có đạo hàm cấp một trên ( ; ) a b chứa 0 x , 0 0 ( ) f x ′ =

và 0 0 ( ) f x ′′ ≠ . Khi đó

0 0 ( ) f x ′′ < ⇒f đạt cực đại tại 0 x , 0 0 ( ) f x ′′ > ⇒f đạt cực tiểu tại 0 x .

Chú ý. Ta thường sử dụng Điều kiện đủ thứ hai trong các bài toán có yêu cầu liên quan đến cực trị tại những điểm cụ thể cho trước.

2.3. Đường thẳng qua hai điểm cực trị

2.3.1. Hàm số 3 2 ( ) y f x ax bx cx d = = + + + 0 ( ) a ≠ , ( ) C

Giả sử đồ thị ( ) C có hai điểm cực trị ( ) ; A A A x y , ( ) ; B B B x y . Thực hiện phép chia đa thức ( ) f x cho

( ) f x ′ , ta được ( ) ( ). ( ) f x g x f x x α β ′ = + + . Khi đó ta có

0 ( ) ( ). ( ) A A A A A A y f x g x f x x x α β α β

= ′ = = + + = + ;

0 ( ) ( ). ( ) B B B B B B y f x g x f x x x α β α β

= ′ = = + + = + .

Suy ra , : A B y x α β ∈∆ = + nên ∆ là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị ( ) C .

2.3.2. Hàm số

2 ( ) ax bx c y f x dx e + + = = + 0 ( ) a ≠ , ( ) C

Giả sử đồ thị ( ) C có hai điểm cực trị ( ) ; A A A x y , ( ) ; B B B x y . Đặt 2 ( ) u x ax bx c = + + ,

( ) v x dx e = + . Khi đó 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x v x u x v x f x v x

′ ′ − ′ =      

. Nếu f đạt cực trị tại 0 x thì

0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x u x v x ′ ′ − = 0 0

0 0

( ) ( )

( ) ( )

u x u x

v x v x

′ ⇔ = ′ hay 0 0

0

( ) ( ) ( )

u x f x v x

′ = ′ .

Do đó ta có 2 ( ) A A A

ax b y f x d

+ = = và 2 ( ) B B B

ax b y f x d

+ = = . Suy ra 2 , : ax b A B y d

+ ∈∆ =

nên ∆ là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị ( ) C .

Chú ý. Ta thường sử dụng thuật toán Đường thẳng qua hai điểm cực trị đối với các bài toán liên quan đến giá trị cực trị hay điểm cực trị của đồ thị hàm số.

3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

0 0

, ( ) max ( ) , ( ) x x f x M M f x x f x M ∈

∀ ∈ ≤  = ⇔∃ ∈ =  D D

D

0 0

, ( ) min ( ) , ( ) x

x f x m m f x x f x m ∈

∀ ∈ ≥  = ⇔∃ ∈ =  D D

D .

Nếu ( ) y f x = đồng biến trên [ ; ] a b thì [ ; ] min ( ) ( ) x a b

f x f a ∈

= và [ ; ] max ( ) ( ) x a b

f x f b ∈

= .

Nếu ( ) y f x = nghịch biến trên [ ; ] a b thì [ ; ] min ( ) ( ) x a b

f x f b ∈

= và [ ; ] max ( ) ( ) x a b

f x f a ∈

= .

4. Tiệm cận

Đường thẳng 0 x x = được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( ) y f x = nếu ít nhất một

trong các điều kiện sau được thỏa mãn

0 lim ( ) x x f x

− → = +∞;

0 lim ( ) x x f x

+ → = +∞;

0 lim ( ) x x f x

− → = −∞;

0 lim ( ) x x f x

+ → = −∞.

Đường thẳng 0 y y = được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( ) y f x = nếu

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com