Hướng dẫn giải các bài toán hay gặp về ứng dụng của đạo hàm luyện thi THPT quốc gia

Chuyên đề 11: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Tóm tắt giáo khoa Định nghĩa y f ) (x : Cho hàm số =

[ ]

xác định trên khoảng (a;b)

[ ]) 2 ( ) 1 ( 2 1 :) ; ( 2 ,1 f x f x f x x b a x x < ⇒ < ∈ ∀ ⇔ đn b) (a; trên (tăng) biến đồng

•

• [ ] [ ]) 2 ( ) 1 ( 2 1 :) ; ( 2 , 1 f x f x f x x b a x x > ⇒ < ∈ ∀ ⇔ đn b) (a; trên (giảm) biến nghịch

69

x

y

x

y

1x 2x

) ( 1x f ) ( 2x f

a b O

) ( f ( f

2x ) 1x

a b 1x 2x

) ( :) ( x f y C = 1. Điều kiện cần của tính đơn điệu: Định lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)

• [ ] ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∈ ∀ ≥ ⇒ b) (a; x 'f b) (a; khoảng trên (tăng) biến đồng f 0 ) (x

• [ ] ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∈ ∀ ≤ ⇒ b) (a; x 0 ) ('f x b) (a; khoảng trên (giảm) biến nghịch f

2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu: Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)

[ ] b) (a; trên (tăng) biến đồng b) (a; x 0 (x) 'f f ⇒ ∈ ∀ > ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ •

• [ ] b) (a; trên (giảm) biến nghịch b) (a; x 0 (x) 'f f ⇒ ∈ ∀ < ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡

• [ ] b) (a; trên đổi không b) (a; x 0 (x) 'f f ⇒ ∈ ∀ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡

x a b

) (' x f

) (x f

+

x a b

) (' x f

) (x f

−

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)

[ ] b) (a; trên (tăng) biến đồng b) (a; của điểm hạn hữu số một tại ra xảy chỉ thức đẳng b) (a; x 0 (x) 'f f ⇒ ∈ ∀ ≥

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

[ ] b) (a; trên (giảm) biến nghịch b) (a; của điểm hạn hữu số một tại ra xảy chỉ thức đẳng b) (a; x 0 (x) 'f f ⇒ ∈ ∀ ≤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

Minh họa định lý:

Định lý 4

70

: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b)

• [ ] f ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∈ ∀ ≥ ⇔ b) (a; x 0 (x) 'f b) (a; trên (tăng) biến đồng

• [ ] ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∈ ∀ ≤ ⇔ b) (a; x 0 (x) 'f b) (a; trên (giảm) biến nghịch f

• [ ] ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∈ ∀ = ⇔ b) (a; x 0 (x) 'f b) (a; trên đổi không f

x a b

) (' x f

) (x f

+

0x

0 +

x a b

) (' x f

) (x f

−

0x

0 −

3. Phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số:

y f ) (x = ta có thể thực hiện như sau: Muốn xét chiều biến thiên của hàm số

Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số : D=?

Bước 2: Tính và xét dấu ) (' x f ) (' x f

Bước 3: Dựa vào định lý điều kiện đủ để kết luận.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

1) x x y − = 4 2)

1 2 3

+

+ = x

x y 3)

1 2

2

− = x

x y

4) 5) x x e y + − = 2

x

x e y = 6) x x y ln 2 2 1 − =

7) x x y ln = 8) x x y − + − = 4 2 9) 2 2 x x y − + =

Bài 2: Cho hàm số 2 3 )1 2 ( 2 2 3 3 1 ) ( + − + + + − = = a x a x x x f y (1). Tìm a để hàm số nghịch biến trên R

Bài 3: Tìm m để hàm số 4 ) 3 ( 2 )1 ( 3 3 1 − + + − + − = x m x m x y đồng biến trên khoảng (0;3)

Bài 4: Cho hàm số

3

2 ) 3 2 ( 2 )1 ( 3

3

1 ) ( − − + − + = = x m x m x x f y (1)

a) Với giá trị nào của m, hàm số (1) đồng biến trên R b) Với giá trị nào của m, hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1;+∞)

Bài 5: Cho hàm số

1 2 ) ( − + + = =

x

m x x f y (1)

Tìm a để hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Bài 6: Cho hàm số

1

1 3 ) 2 ( 2 2 ) ( −

+ − + + − = = x

m x m x x f y (1)

Tìm a để hàm số (1) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Bài 7: Cho hàm số : m x m x m x y − + + − + − = 1 ) 1( 2 2

. Định m để hàm số đồng biến trong khoảng (1;+∞)

Bài 8: Chứng minh rằng: với mọi x tgx x 3 sin 2 > + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 ;0 π x

Bài 9: Chứng minh rằng:

3

3 x x tgx + > với mọi ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 ;0 π x

Bài 10: Chứng minh rằng: x tgx

π

4 ≤ với mọi ⎥⎦

⎤ ⎢⎣

⎡ ∈ 4 ;0 π x

Bài 11: Cho hàm số 3 2 1 (2 1) 2 3 y x ax a x a = − + − − +

Tìm a để hàm số nghịch biến trong khoảng (-2;0) Bài 12: Cho hàm số (1) 1 2 3 + + − = x mx x y Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (1;2)

Bài 13: Cho hàm số

2 1 1 x mx y x + − = −

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1) và (1;+∞).

Bài 14: Cho hàm số

2 2 2 x x m y x − + = −

Xác định m để hàm số nghịch biến trên [-1;0].

Bài 15: Cho hàm số

2 2 5 6 3 x x m y x + + + = +

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞).

Bài 16: Cho hàm số

2 (2 3) 1 ( 1) x m x m y x m + − + − = − −

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)

71