Đề thi thử THPT quốc gia 2016 môn Toán trường chuyên Hà Nội Amsterdam

TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA – NĂM HỌC 2015 - 2016

AMSTERDAM – HÀ NỘI MÔN TOÁN

WWW.TOANMATH.COM Thời gian làm bài: 180 phút (không tính thời gian phát đề)

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số x 1 y x 2 + = −

Câu 2 (1,0 điểm). Tìm các số thực a, b sao cho hàm số ( ) 2 f x a ln x bx x = + + đạt cực tiểu tại điểm x = 1

và f(1) = 3.

Câu 3 (1,0 điểm).

a) Tìm giới hạn

2x

x 0 e 1 L lim x 4 2 → − = + −

b) Giải phương trình

x

2 x 5.2 8 log 3 x 2 2   − = −   +  

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân

4 x

2x 1

1 x 2e I dx x e x − = + ∫

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(1;1;1); B(3;–1;1) và C(–2;0;2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Câu 6 (1,0 điểm).

a) Giải phương trình ( ) cos2x 3sin 2x 5 sin x cos x 3 − + + =

b) Có 2 túi đựng bút. Túi thứ nhất chứa 4 bút đỏ và 6 bút xanh. Túi thứ hai chứa 16 bút đỏ và một số bút xanh. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một chiếc bút. Biết xác suất để hai bút chọn ra có cùng màu là 0,44. Xác định số bút xanh có trong túi thứ hai.

Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A với  ABC 30 = °; các mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC bằng a và góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (SAB) bằng 300. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa các đường thẳng AM, SC theo a.

Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Đường thẳng BI cắt đường thẳng MN tại E. Biết I(–1;–1); E(3;1) và đường thẳng AC có phương trình x + 2y – 1 = 0. Xác định tọa độ điểm C.

Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ( )

( )

( )

2 2 4 x y y 4x 8 2y y 6x x, y 4 y 2 x 1 9y x 1

+ + − + = − +  ∈  + + = − 



Câu 10 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng

a b c 18 2a 1 2b 1 2c 1 3 ab bc ca + + ≥ − − − + + +

ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.

+ Tập xác định: D = ℝ \ {2}

+ Sự biến thiên

Chiều biến thiên:

( )

2 3 y' 0, x D x 2 = − < ∀∈ −

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (–∞;2) và (2;+∞)

Giới hạn và tiệm cận:

x 2 x 2 lim y ; lim y x 2 − + → → = −∞ = +∞⇒ = là tiệm cận đứng

x x lim y lim y 1 y 1 →−∞ →+∞ = = ⇒ = là tiệm cận ngang

Bảng biến thiên:

x –∞ 2 +∞

y’ – –

y

1

–∞

+∞

1

+ Đồ thị

Giao với Ox tại (–1;0), giao Oy tại 1 0; 2   −    

. Điểm I(2;1) là tâm đối xứng đồ thị

Câu 2.

Tập xác định (0;+∞)

Ta có ( ) f 1 3 a.ln1 b.1 1 3 b 2 = ⇔ + + = ⇔ =

Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 a a f x a ln x 2x x;f ' x 4x 1;f '' x 4 x x = + + = + + = − +

Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 1 ⇔ ( )

( )

a 4.1 1 0 f ' 1 0 1 a 5 a f '' 1 0 4 0 1

 + + =  =   ⇔ ⇔ = −   >    − + > 

Vậy a = –5, b = 2

Câu 3.

a) Xét hàm số ( )

2x e 1 f x x 4 2 − = + −

có tập xác định: D = (–4;+∞) \ {0}

Ta có ( ) ( ) ( )

2x 2x 2x 2x x 4 2 e 1 e 1 e 1 x D,f x . .2 x 4 2 2x x 4 4 2x x 4 2

+ + − − − ∀∈ = = = + + + − + −

Vì

2x

x 0 x 0 e 1 lim2x 0 lim 1 2x → → − = ⇒ =

( )

( )

x 0

x 0

lim2 x 4 2 8

L limf x 1.8 8

→

→

+ + =

⇒ = = =

b) ( )

x

2 x 5.2 8 log 3 x 1 2 2   − = −   +  

Điều kiện:

x

x 5.2 8 0 2 2 − > + . Ta có

( )

( ) ( )

( )( )

( )

x x 3 x x x x

x x x

2x x

x x

x x

5.2 8 5.2 8 8 1 2 2 2 2 2 2 2 5.2 8 8 2 2

5.2 16.2 16 0

2 4 5.2 4 0

2 4 do 5.2 4 0, x

x 2

− − − ⇔ = ⇔ = + + ⇔ − = +

⇔ − − =

⇔ − + =

⇔ = + > ∀

⇔ =

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {2}

Câu 4.

4 x

2x 1

1 x 2e I dx x e x − = + ∫

Xét ( )

x f x e x = − trên [1;4]. f(x) liên tục trên [1;4]. Ta có