Đề thi thử THPT quốc gia 2015 môn Toán Trung tâm luyện thi Thành Nhân Đà Lạt

Bồi dưỡng văn hóa và luyện thi Đại học Thành Nhân Lô A14 Trần Lê, Đà Lạt - Ngày thi 5.07.2014 -

GV ra đề: Nguyễn Phú Khánh Môn Toán – Khối A,A1

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2015 Môn Toán; Khối A và khối A1.

Câu 1. (2 điểm)

a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số 3 2 3 2 y x x = − + .

b) Tìm giá trị tham số m∈ thì đồ thị của hàm số 4 2 4 4 y x mx m = − + − có 3 cực trị là 3 đỉnh của 1

tam giác nhận điểm 31 0; 4 H      

làm trực tâm.

Câu 2. (1 điểm) Giải phương trình: + = − 1 3 sin 2x tan cos2 2 2 x x .

Câu 3. (1 điểm) Tính giới hạn:

5 3 2

3 2 1

5 2 6 4 lim

1 x x x x x B

x x x →

− + + − = − − + .

Câu 4. (1 điểm). Trong mặt phẳng ( ) P , cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng a , = 0 120 ABC .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABD . Trên đường thẳng vuông góc với ( ) P tại G lấy điểm S sao cho = 0 90 ASC . Tính thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng ( ) SBD theo a .

Câu 5. (1 điểm) a) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn

4321đồng thời các chữ số 1 và 3 luôn có mặt và đứng cạnh nhau.

b) Chứng minh rằng: với mọi cặp số nguyên ( ) , 1 k n k n ≤ ≤ ta có: 1 1 k k n n kC nC −

− = . Tìm số nguyên 4 n >

biết rằng ( ) 0 1 2 2 5 8 ... 3 2 1600 n n n n n C C C n C + + + + + = .

Câu 6. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC có phương trình các đường

thẳng , AB AC lần lượt là − − = + + = 4x 3 20 0; 2x 10 0 y y . Đường tròn ( ) C đi qua trung điểm của các

đoạn thẳng , , HA HB HC có phương trình là ( ) ( ) − + + = 2 2 1 2 25 x y , trong đó H là trực tâm của tam giác

ABC . Tìm tọa độ điểm H biết > −4 C x .

Câu 7. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy ,cho hình vuông ABCD có M là trung điểm

của cạnh BC , N thuộc cạnh AC sao cho = 1

4 AN AC . Biết MN có phương trình − − = 3x 4 0 y

và ( ) 5;1 D . Tìm tọa độ của điểm B biết M có tung độ dương.

Câu 8. (1 điểm) Giải hệ phương trình: ( )  + − = + +  ∈   − − − = 

4 2 2 2 3 2 2

3 2 , 2 5 2 1 0

x x y y y x y x x y y x

Câu 9. (1 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: ( ) + + = + + + 2 2 2 2 3 a b c ab bc ca . Tìm giá trị lớn nhất

của = + + − + + +

2 2 2 1

3 S a b c a b c .

Bồi dưỡng văn hóa và luyện thi Đại học Thành Nhân Lô A14 Trần Lê, Đà Lạt - Ngày thi 5.07.2014 -

GV ra đề: Nguyễn Phú Khánh Môn Toán – Khối A,A1

y

2

2

-2

3

-1

x

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (2 điểm)

a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số 3 2 3 2 y x x = − +

∗ Hàm số đã cho xác định trên

∗ Ta có: ( ) 2 ' 3 6 3 2 y x x x x = − = − và ' 0 0 y x = ⇔ = hoặc 2 x = .

∗ Giới hạn: lim x y →−∞ = −∞ và lim x y →+∞ = +∞

∗ Bảng biến thiên:

x −∞ 0 2 +∞ ' y + 0 − 0 +

y 2 +∞

−∞ 2 − Hàm đồng biến trên mỗi khoảng( ) ;0 −∞ và( ) 2;+∞, nghịch biến trên ( ) 0;2 .

Hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x = với giá trị cực đại của hàm số là ( ) 0 2 y = và hàm số đạt cực tiểu tại

điểm 2 x = với giá trị cực tiểu của hàm số là ( ) 2 2 y = −.

∗ Đồ thị

• Điểm đặc biệt : '' 6 6 y x = − và " 0 1 y x = ⇔ = ( ) 1;0 I ⇒

• Chọn 3 2, x y = ⇒ = 1 2 x y = −⇒ = −.

Chú ý: Ta có thể tìm điểm đặc biệt bằng cách tìm giao điểm của đồ thị với trục tọa độ: Giao điểm của đồ thị với trục Oy là điểm( ) 0;2

Đồ thị cắt Ox tại ba điểm ( ) 1;0 ,( ) 1 3;0 ±

Nhận xét: Đồ thị nhận ( ) 1;0 I làm tâm đối xứng.

b)

0 ' 0 m y ≤ ⇒ = có 1 nghiệm, nên hàm số có 1 cực trị.

0 ' 0 m y > ⇒ = có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm đó, nên hàm số có 3 cực trị. Giả sử

( ) 0; 4 , A m − ( ) 2 2 ;4 4 , B m m m − − ( ) 2 2 ;4 4 C m m m − .

Vì tam giác ABC cân tại A và , B C đối xứng nhau qua Oy

H là trực tâm tam giác ABC khi ( ) . 0 AH BC BH AC BH AC

 ⊥ ⇒ = ∗  ⊥ 

.

Ta có: 2 31 2 ; 4 4 , 4 BH m m m   = − + +    

( ) 2 2 ;4 AC m m =

.

Khi đó ( ) 2 2 31 2 4 4 4 0 4 m m m m   ∗⇔ + − + + =     hay 3 2 31 8 8 1 0 2 m m m − − − = , phương trình có nghiệm 2 m =

thỏa 0 m > .